Innhold
- Integrering av grunnleggende firkantede rotfunksjoner
- Integrering av mer komplekse firkantede rotfunksjoner
Integrering av funksjoner er en av de viktigste applikasjonene til kalkulus. Noen ganger er dette enkelt, som i:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
I et relativt komplisert eksempel av denne typen kan du bruke en versjon av den grunnleggende formelen for å integrere ubestemte integraler:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
hvor A og C er konstanter.
Så for dette eksempelet,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integrering av grunnleggende firkantede rotfunksjoner
På overflaten er det vanskelig å integrere en kvadratrotfunksjon. For eksempel kan du bli stymied av:
F (x) = ∫ √dx
Men du kan uttrykke en kvadratrot som eksponent, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
Integralet blir derfor:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
som du kan bruke den vanlige formelen ovenfra:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integrering av mer komplekse firkantede rotfunksjoner
Noen ganger kan du ha mer enn ett begrep under det radikale tegnet, som i dette eksemplet:
F (x) = ∫ dx
Du kan bruke u-substitusjon for å fortsette. Her setter du u lik mengden i nevneren:
u = √ (x - 3)
Løs dette for x ved å kvadre begge sider og trekke fra:
u2 = x - 3
x = u2 + 3
Dette lar deg få dx i form av u ved å ta derivatet av x:
dx = (2u) du
Å erstatte tilbake til den originale integral gir
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Nå kan du integrere dette ved å bruke den grunnleggende formelen og uttrykke u i form av x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C