Hvordan finne en eksponentiell ligning med to poeng

Innhold

• Hvorfor eksponentielle funksjoner er viktige
• Fra et par poeng til en graf
• Ett punkt på X-aksen
• Ingen av punktene på X-aksen
• Et eksempel fra den virkelige verden

Hvis du kjenner to punkter som faller på en bestemt eksponentiell kurve, kan du definere kurven ved å løse den generelle eksponentielle funksjonen ved å bruke disse punktene. I praksis betyr dette å erstatte punktene med y og x i ligningen y = ab^x. Fremgangsmåten er enklere hvis x-verdien for et av punktene er 0, noe som betyr at punktet er på y-aksen. Hvis ingen av punktene har null x-verdi, er prosessen for å løse for x og y en smule mer komplisert.

Hvorfor eksponentielle funksjoner er viktige

Mange viktige systemer følger eksponentielle mønstre for vekst og forfall. For eksempel øker antallet bakterier i en koloni vanligvis eksponentielt, og omgivelsesstråling i atmosfæren etter en nukleær hendelse vanligvis reduseres eksponentielt. Ved å ta data og plotte en kurve, er forskere i bedre stand til å komme med spådommer.

Fra et par poeng til en graf

Ethvert punkt på en todimensjonal graf kan være representert med to tall, som vanligvis er skrevet i formen (x, y), der x definerer den horisontale avstanden fra opprinnelsen og y representerer den vertikale avstanden. For eksempel er punktet (2, 3) to enheter til høyre for y-aksen og tre enheter over x-aksen. På den annen side er punktet (-2, -3) to enheter til venstre for y-aksen. og tre enheter under x-aksen.

Hvis du har to poeng, (x₁, y₁) og (x₂, y₂), kan du definere eksponentiell funksjon som går gjennom disse punktene ved å erstatte dem i ligningen y = ab^x og løse for a og b. Generelt sett må du løse dette paret av ligninger:

y₁ = ab^x1 og y₂ = ab^x2, .

I denne formen ser matematikken litt komplisert ut, men det ser mindre ut etter at du har gjort noen få eksempler.

Ett punkt på X-aksen

Hvis en av x-verdiene - si x₁ - er 0, operasjonen blir veldig enkel. Å løse ligningen for punktene (0, 2) og (2, 4) gir for eksempel:

2 = ab⁰ og 4 = ab². Siden vi vet at b⁰ = 1, den første ligningen blir 2 = a. Å erstatte a i den andre ligningen gir 4 = 2b², som vi forenkler til b² = 2, eller b = kvadratrot på 2, som tilsvarer omtrent 1,41. Den definerende funksjonen er da y = 2 (1,41)^x.

Ingen av punktene på X-aksen

Hvis ingen av x-verdiene er null, er det å løse paret av ligninger litt mer tungvint. Henochmath leder oss gjennom et enkelt eksempel for å avklare denne prosedyren. I sitt eksempel valgte han poengparet (2, 3) og (4, 27). Dette gir følgende par ligninger:

27 = ab⁴

3 = ab²

Hvis du deler den første ligningen med den andre, får du

9 = b²

så b = 3. Det er mulig for b å også være lik -3, men antar i dette tilfellet at det er positivt.

Du kan erstatte denne verdien for b i begge ligninger for å få en. Det er lettere å bruke den andre ligningen, så:

3 = a (3)² som kan forenkles til 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.

Ligningen som går gjennom disse punktene kan skrives som y = 1/3 (3)^x.

Et eksempel fra den virkelige verden

Siden 1910 har den menneskelige befolkningsveksten vært eksponentiell, og ved å plotte en vekstkurve er forskere i bedre stand til å forutsi og planlegge for fremtiden. I 1910 var verdensbefolkningen 1,75 milliarder, og i 2010 var den 6,87 milliarder. Med utgangspunkt i 1910 gir dette poengparet (0, 1,75) og (100, 6,87). Fordi x-verdien til det første punktet er null, kan vi lett finne en.

1,75 = ab⁰ eller a = 1,75. Når du kobler denne verdien sammen med de fra det andre punktet til den generelle eksponentielle ligningen, produseres det 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, som gir verdien av b som den hundredelte roten på 6,87 / 1,75 eller 3,93. Så ligningen blir y = 1,75 (hundrelappet av 3,93)^x. Selv om det krever mer enn en lysbilde-regel for å gjøre det, kan forskere bruke denne ligningen for å projisere fremtidige befolkningstall for å hjelpe politikere i dag med å lage passende politikk.