Innhold
- Hva er den sentrale vinkelen?
- Bestemme den sentrale vinkelen fra buelengden
- Bestemme den sentrale vinkelen fra sektorområdet
Sirkler er overalt i den virkelige verden, og det er grunnen til at deres radier, diametre og omkrets er viktige i det virkelige bruksområdet. Men det er andre deler av sirkler - for eksempel sektorer og vinkler - som også har betydning i dagligdagse applikasjoner. Eksempler inkluderer sektorstørrelser av sirkulær mat som kaker og paier, vinkelen som er reist i et pariserhjul, dimensjonering av et dekk til et bestemt kjøretøy og spesielt dimensjonering av en ring for en forlovelse eller bryllup. Av disse grunner og mer har geometri også ligninger og problemberegninger som omhandler sentrale vinkler, buer og sektorer i en sirkel.
Hva er den sentrale vinkelen?
Den sentrale vinkelen er definert som vinkelen som er skapt av to stråler eller radier som stråler fra midten av en sirkel, og sirkelsentrum er toppunktet til den sentrale vinkelen. Sentrale vinkler er spesielt relevante når det gjelder jevn deling av pizza, eller annen sirkulærbasert mat, mellom et bestemt antall mennesker. Si at det er fem personer på en soiree hvor en stor pizza og en stor kake skal deles. Hva er vinkelen som både pizzaen og kaken må deles på for å sikre en lik skive for alle? Siden det er 360 grader i en sirkel, blir beregningen 360 grader delt på 5 for å komme til 72 grader, slik at hver skive, enten det er av pizzaen eller kaken, vil ha en sentral vinkel, eller theta (θ), som måler 72 grader.
Bestemme den sentrale vinkelen fra buelengden
En sirkelbue refererer til en "del" av sirkelens omkrets. Buelengden er derfor lengden på den "delen." Hvis du forestiller deg en pizzaskive, kan sektorområdet visualiseres som hele pizzaen, men buelengden er lengden på ytterkanten av jordskorpen for akkurat den skive. Fra buelengden kan den sentrale vinkelen beregnes. En formel som kan hjelpe til med å bestemme den sentrale vinkelen, sier faktisk at buelengden (er) er lik radien ganger den sentrale vinkelen, eller s = r × θ, der vinkelen, theta, måles i radianer. Så for å løse for den sentrale vinkelen, theta, trenger man bare dele buelengden med radius, eller s ÷ r = θ. For å illustrere, hvis buelengden er 5,9 og radien er 3,5329, blir den sentrale vinkelen 1,67 radianer. Et annet eksempel er hvis buelengden er 2 og radien er 2, blir den sentrale vinkelen 1 radian. Hvis du vil konvertere radianer til grader, husk at 1 radian tilsvarer 180 grader delt på π, eller 57,2958 grader. Motsatt, hvis en ligning ber om å konvertere grader tilbake til radianer, må du først multiplisere med π, og deretter dele med 180 grader.
Bestemme den sentrale vinkelen fra sektorområdet
En annen nyttig formel for å bestemme sentral vinkel er gitt av sektorområdet, som igjen kan visualiseres som en skive pizza. Denne spesielle formelen kan sees på to måter. Den første har den sentrale vinkelen målt i grader, slik at sektorområdet er lik π ganger radius-kvadratet og deretter multiplisert med mengden av den sentrale vinkelen i grader dividert med 360 grader. Med andre ord:
(πr2) × (sentral vinkel i grader ÷ 360 grader) = sektorområde.
Hvis den sentrale vinkelen måles i radianer, blir formelen i stedet:
sektorområde = r2 × (sentral vinkel i radianer ÷ 2).
Omorganisering av formlene vil bidra til å løse for verdien av den sentrale vinkelen, eller theta. Vurder et sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radius på 10 centimeter. Hva ville den sentrale vinkelen være i grader? Beregningene ville begynne med at et sektorareal på 52,3 kvadratcentimeter var lik:
(θ ÷ 360 grader) × πr2.
Siden radien (r) er lik 10, kan hele ligningen skrives som:
(52.3 ÷ 100π) × 360
slik at theta kan skrives som:
(52.3 ÷ 314) × 360.
Dermed blir det endelige svaret en sentral vinkel på 60 grader.