Innhold
Absolute verdi-ligninger kan være litt skremmende med det første, men hvis du holder på med det, vil du snart løse dem lett. Når du prøver å løse ligninger med absolutt verdi, hjelper det å huske betydningen av absolutt verdi.
Definisjon av absolutt verdi
De absolutt verdi av et tall x, skrevet | x |, er avstanden fra null på en tallinje. For eksempel er −3 3 enheter borte fra null, så absolutt verdi av −3 er 3. Vi skriver det slik: | −3 | = 3.
En annen måte å tenke på det er det absolutt verdi er den positive "versjonen" av et tall. Så absolutt verdi av −3 er 3, mens den absolutte verdien på 9, som allerede er positiv, er 9.
Algebraisk kan vi skrive a formel for absolutt verdi som ser slik ut:
| x | = x, hvis x ≥ 0,
= −x, hvis x ≤ 0.
Ta et eksempel der x = 3. Siden 3 ≥ 0 er absolutt verdi av 3 3 (i notasjon av absolutt verdi, det vil si: | 3 | = 3).
Hva om nå x = −3? Det er mindre enn null, så | −3 | = - (−3). Det motsatte, eller "negative" av −3 er 3, så | −3 | = 3.
Løsning av absolutte verdiligninger
Nå for noen absolutte verdi-ligninger. De generelle trinnene for å løse en absoluttverdi-ligning er:
Isoler uttrykket absolutt verdi.
Løs den positive "versjonen" av ligningen.
Løs den negative "versjonen" av ligningen ved å multiplisere mengden på den andre siden av likhetstegnet med −1.
Ta en titt på problemet nedenfor for å få et konkret eksempel på trinnene.
Eksempel: Løs likningen for x: | 3 + x | − 5 = 4 .
Du må få | 3 + x | av seg selv på venstre side av likhetstegnet. For å gjøre dette, legg til 5 på begge sider:
| 3 + x | − 5 (+ 5) = 4 (+ 5)
| 3 + x | = 9.
Løs for x som om tegnet med absolutt verdi ikke var der!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det er enkelt: Trekk bare tre fra begge sider.
3 + x ( −3) = 9 ( −3)
x = 6
Så en løsning på ligningen er den x = 6.
Begynn igjen på | 3 + x | = 9. Algebraen i forrige trinn viste at x kan være 6. Men siden dette er en absolutt verdi-ligning, er det en annen mulighet å vurdere. I ligningen over er den absolutte verdien av "noe" (3 + x) tilsvarer 9. Visst, absolutt verdi av positive 9 tilsvarer 9, men det er et annet alternativ også her! Den absolutte verdien av −9 tilsvarer også 9. Så det ukjente "noe" kan også være lik −9.
Med andre ord: 3 + x = −9.
Den raske måten å komme til denne andre versjonen er å multiplisere mengden på den andre siden av likene fra uttrykket absolutt verdi (9, i dette tilfellet) med −1, og deretter løse ligningen derfra.
Altså: | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( −1)
3 + x = −9
Trekk 3 fra begge sider for å få:
3 + x ( −3) = −9 ( −3)
x = −12
Så de to løsningene er: x = 6 eller x = −12.
Og der har du det! Denne typen ligninger tar praksis, så ikke bekymre deg hvis du sliter med det første. Hold på det, så blir det enklere!