Innhold
Når du begynner å løse algebraiske ligninger som involverer polynomier, blir muligheten til å gjenkjenne spesielle, lett betraktede former for polynomer veldig nyttig. En av de mest nyttige "lettfaktor" -polynomene å oppdage er det perfekte kvadratet, eller trinomet som skyldes kvadrering av en binomial. Når du har identifisert et perfekt torg, er det ofte en viktig del av problemløsingsprosessen å fakturere det i de individuelle komponentene.
Identifisere Perfect Square Trinomials
Før du kan faktorere et perfekt firkantet trinomium, må du lære å gjenkjenne det. Et perfekt torg kan ha en av to former:
Noen eksempler på perfekte firkanter som du kan se i den "virkelige verden" av matteproblemer inkluderer:
Hva er nøkkelen til å gjenkjenne disse perfekte rutene?
Sjekk den første og tredje termen til trinomialen. Er de begge rutene? Hvis ja, finn ut hva de er firkanter på. For eksempel i det andre "virkelige verden" eksempelet gitt ovenfor, y2 - 2_y_ + 1, begrepet y2 er tydeligvis torget av y. Begrepet 1 er kanskje mindre åpenbart kvadratet på 1, fordi 12 = 1.
Multipliser røttene til første og tredje begrep sammen. For å fortsette eksemplet, er dvs y og 1, som gir deg y × 1 = 1_y_ eller ganske enkelt y.
Deretter multipliserer du produktet med 2. Fortsetter du eksemplet, har du 2_y._
Til slutt kan du sammenligne resultatet av det siste trinnet med mellomterm av polynomet. Stemmer de? I polynomet y2 - 2_y_ + 1, det gjør de. (Tegnet er irrelevant; det kan også være en kamp hvis midtbegrepet var + 2_y_.)
Fordi svaret i trinn 1 var "ja", og resultatet ditt fra trinn 2 stemmer overens med den midterste termen av polynomet, vet du at du ser på en perfekt firkantet trinomial.
Factoring a Perfect Square Trinomial
Når du vet at du ser på en perfekt firkantet treenighet, er prosessen med å innføre det ganske grei.
Identifiser røttene, eller tallene som er kvadratet, i den første og tredje termen av trinomialen. Tenk på et annet av eksempelene dine som du allerede vet er et perfekt torg, x2 + 8_x_ + 16. Det er klart at tallet som er kvadratisk i den første terminperioden er x. Antallet som er kvadratert i tredje periode er 4, fordi 42 = 16.
Tenk tilbake på formlene for perfekte firkantede trinomer. Du vet at faktorene dine vil ta enten formen (en + b)(en + b) eller skjemaet (en – b)(en – b), hvor en og b er tallene som er kvadratet i første og tredje begrep. Så du kan skrive ut faktorene dine på den måten og utelate tegnene midt i hvert begrep foreløpig:
(en ? b)(en ? b) = en2 ? 2_ab_ + b2
For å fortsette eksemplet ved å erstatte røttene til det nåværende trinomiet ditt, har du:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Kontroller mellomtiden til trinomialen. Har det et positivt tegn eller et negativt tegn (eller for å si det på en annen måte, blir det lagt til eller trukket fra)? Hvis det har et positivt tegn (eller blir lagt til), så har begge faktorene i trinomialet et plustegn i midten. Hvis det har et negativt tegn (eller blir trukket fra), har begge faktorene et negativt tegn i midten.
Midtuttrykket i det nåværende eksempeltrinomet er 8_x_ - det er positivt - så du har nå innarbeidet det perfekte firkantede trinomet:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Sjekk arbeidet ditt ved å multiplisere de to faktorene sammen. Å bruke FOIL eller første, ytre, indre, siste metode gir deg:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Forenkling av dette gir resultatet x2 + 8_x_ + 16, som samsvarer med din trinomial. Så faktorene er riktige.