Innhold
- Hva er en faktor?
- Finne den største vanlige faktoren: metode én
- Finne den største vanlige faktoren: Metode to
- Forenkle brudd med vanlige faktorer
Å finne den største vanlige faktoren, eller GCF, av to tall er nyttig i mange situasjoner i matematikk, men spesielt når det gjelder forenkling av brøk. Hvis du sliter med dette eller finner fellesnevnere, vil du lære to metoder for å finne vanlige faktorer som vil hjelpe deg å oppnå det du planlegger å gjøre. Først, men det er en god idé å lære om det grunnleggende om faktorer; Deretter kan du se på to tilnærminger for å finne vanlige faktorer. Til slutt kan du se på hvordan du bruker kunnskapen din for å forenkle en brøkdel.
Hva er en faktor?
Faktorer er tallene du multipliserer sammen for å produsere et annet tall. For eksempel er 2 og 3 faktorer på 6, fordi 2 × 3 = 6. Tilsvarende 3 og 3 er faktorer på 9, fordi 3 × 3 = 9. Som du kanskje vet, er primtall tall som ikke har andre faktorer enn seg selv og 1. Så 3 er et primtall, fordi de eneste to hele tallene (heltall) som kan multiplisere sammen for å gi 3 som svar, er 3 og 1. På samme måte er 7 et primtall, og det samme er 13 .
På grunn av dette er det ofte nyttig å dele opp et tall i “primfaktorer.” Dette betyr å finne alle primtallfaktorene til et annet tall. Det bryter i utgangspunktet tallet ned i de grunnleggende “byggesteinene”, som er et nyttig skritt mot å finne den største fellesfaktoren på to tall og er også uvurderlig når det gjelder å forenkle kvadratrøtter.
Finne den største vanlige faktoren: metode én
Den enkleste metoden for å finne den største vanlige faktoren for to tall er å ganske enkelt liste opp alle faktorene til hvert nummer og se etter det høyeste tallet som begge deler. Se for deg at du vil finne den høyeste vanlige faktoren på 45 og 60. Se først på de forskjellige tallene du kan multiplisere sammen for å produsere 45.
Den enkleste måten å starte er med de to du vet vil fungere, selv for et primtall. I dette tilfellet vet vi 1 × 45 = 45, så vi vet at 1 og 45 er faktorer på 45. Dette er de første og siste faktorene på 45, så du kan bare fylle ut derfra. Neste, finn ut om 2 er en faktor. Dette er enkelt, fordi et hvilket som helst jevnt tall kan deles med 2, og et hvilket som helst oddetall ikke. Så vi vet at 2 ikke er en faktor 45. Hva med 3? Du bør kunne se at 3 er en faktor 45, fordi 3 × 15 = 45 (du kan alltid bygge videre på det du vet for å regne ut dette, for eksempel vil du vite at 3 × 12 = 36, og legge til trekanter til dette fører deg til 45).
Neste, er 4 en faktor på 45? Nei - du vet 11 × 4 = 44, så det kan ikke være! Neste, hva med 5? Dette er en annen enkel, fordi et hvilket som helst nummer som ender på 0 eller 5, kan deles med 5. Og med dette kan du lett se at 5 × 9 = 45. Men 6 er ikke bra fordi 7 × 6 = 42 og 8 × 6 = 48. Fra dette kan du også se at 7 og 8 ikke er faktorer på 45. Vi vet allerede at 9 er, og det er lett å se at 10 og 11 ikke er faktorer. Fortsett denne prosessen, så ser du at 15 er en faktor, men ingenting annet er det.
Så faktorene på 45 er: 1, 3, 5, 9, 15 og 45.
For 60 kjører du gjennom nøyaktig samme prosess. Denne gangen er tallet jevnt (slik at du vet at 2 er en faktor) og deles med 10 (så 5 og 10 er begge faktorer), noe som gjør ting litt enklere. Etter å ha gått gjennom prosessen på nytt, bør du se at faktorene 60 er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.
Sammenligning av de to listene viser at 15 er den største vanlige faktoren på 45 og 60. Denne metoden kan være tidkrevende, men den er enkel og den vil alltid fungere. Du kan også starte med hvilken som helst høy felles faktor du kan oppdage med en gang, og deretter bare se etter høyere faktorer for hvert tall.
Finne den største vanlige faktoren: Metode to
Den andre metoden for å finne GCF for to tall er å bruke primfaktorer. Prosessen med prime faktorisering er litt enklere og mer strukturert enn å finne alle faktorene. La oss gå gjennom prosessen for 42 og 63.
Prosessen med primfaktorisering innebærer i utgangspunktet å bryte tallet til du bare sitter igjen med primtall. Det er best å starte med den minste prime (to) og jobbe derfra. Så for 42 er det lett å se at 2 × 21 = 42. Da jobber du fra 21: Er 2 en faktor? Nei. Er 3? Ja! 3 × 7 = 21, og 3 og 7 er begge primtall. Dette betyr at hovedfaktorene på 42 er 2, 3 og 7. Den første "pausen" som ble brukt 2 for å komme til 21, og den andre brøt dette ned i 3 og 7. Du kan sjekke dette ved å multiplisere alle faktorene dine sammen og sjekke får du det opprinnelige tallet: 2 × 3 × 7 = 42.
For 63 er ikke 2 en faktor, men 3 er fordi 3 × 21 = 63. Igjen bryter 21 opp i 3 og 7 - begge prime - så du kjenner de viktigste faktorene! Kontroller viser at 3 × 3 × 7 = 63, etter behov.
Du finner den høyeste vanlige faktoren ved å se på hvilke hovedfaktorer de to tallene har til felles. I dette tilfellet har 42 2, 3 og 7, og 63 har 3, 3 og 7. De har 3 og 7 til felles. For å finne den høyeste vanlige faktoren, multipliser alle de vanlige hovedfaktorene sammen. I dette tilfellet er 3 × 7 = 21, så 21 er den største vanlige faktoren på 42 og 63.
Det forrige eksemplet kan løses raskere også på denne måten. Fordi 45 er delbart med tre (3 × 15 = 45), og 15 også er delbart med tre (3 × 5 = 15), er hovedfaktorene på 45 3, 3 og 5. For 60 er den delbar med to (2 × 30 = 60), 30 kan deles også med to (2 × 15 = 30), og da sitter du igjen med 15, som vi vet har tre og fem som viktigste faktorer, og etterlater 2, 2, 3 og 5. Sammenligning av de to listene er tre og fem de vanlige hovedfaktorene, så den største vanlige faktoren er 3 × 5 = 15.
I tilfelle det er tre eller flere vanlige hovedfaktorer, multipliserer du dem alle sammen på samme måte for å finne den største fellesfaktoren.
Forenkle brudd med vanlige faktorer
Hvis du blir presentert for en brøkdel som 32/96, kan den gjøre alle beregninger som kommer etter den veldig kompliserte med mindre du kan se en måte å forenkle brøkdelen på. Å finne den laveste vanlige faktoren på 32 og 96 vil fortelle deg tallet du skal dele begge med, for å få en enklere brøk. I dette tilfellet:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Altså 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
For 96 gir prosessen:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Altså 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Det skal være klart at 25 = 32 er den høyeste vanlige faktoren. Å dele begge deler av brøkdelen med 32 gir:
32/96 = 1/3
Å finne fellesnevnere er en lignende prosess. Se for deg at du måtte legge til brøkene 15/45 og 40/60. Vi vet fra det første eksemplet at 15 er den høyeste vanlige faktoren på 45 og 60, slik at vi umiddelbart kan uttrykke dem som 5/15 og 10/15. Siden 3 × 5 = 15, og begge tellerne også kan deles med fem, kan vi dele begge deler av begge brøkene med fem for å få 1/3 og 2/3. Nå er de mye lettere å legge til og se at 15/45 + 40/60 = 1.