En Taylor-serie er en numerisk metode for å representere en gitt funksjon. Denne metoden har anvendelse innen mange ingeniørfelt. I noen tilfeller, for eksempel varmeoverføring, resulterer differensialanalyse i en ligning som passer til en Taylor-serie. En Taylor-serie kan også representere et integralt hvis integralet av den funksjonen ikke eksisterer analytisk. Disse representasjonene er ikke eksakte verdier, men å beregne flere uttrykk i serien vil gjøre tilnærmingen mer nøyaktig.
Velg et senter for Taylor-serien. Dette tallet er vilkårlig, men det er en god ide å velge et senter der det er symmetri i funksjonen eller hvor verdien for senteret forenkler matematikken til problemet. Hvis du beregner Taylor-seriens representasjon av f (x) = sin (x), er et godt senter å bruke a = 0.
Bestem antall ord du vil beregne. Jo flere uttrykk du bruker, desto mer nøyaktig blir din representasjon, men siden en Taylor-serie er en uendelig serie, er det umulig å inkludere alle mulige begrep. Syndet (x) -eksemplet vil bruke seks termer.
Beregn derivatene du trenger for serien. For dette eksemplet må du beregne alle derivatene opp til det sjette derivatet. Siden Taylor-serien starter på "n = 0", må du ta med det "0" -derivatet, som bare er den opprinnelige funksjonen. 0. derivat = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) fjerde = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Beregn verdien for hvert derivat i sentrum du valgte. Disse verdiene vil være tellerne for de seks første begrepene i Taylor-serien. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -in (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -in (0) = 0
Bruk de deriverte beregningene og senteret for å bestemme Taylor-serieuttrykkene. 1. termin; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. semester; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. termin; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. termin; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. termin; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. termin; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serien for sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Slipp nullbegrepene i serien og forenkle uttrykket algebraisk for å bestemme den forenklede representasjonen av funksjonen. Dette vil være en helt annen serie, så verdiene for "n" brukt tidligere gjelder ikke lenger. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... synd (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ... Siden tegnene veksler mellom positivt og negativt, må den første komponenten i den forenklede ligningen være (-1) ^ n, siden det ikke er noen jevnstall i serien. Begrepet (-1) ^ n resulterer i et negativt tegn når n er merkelig og et positivt tegn når n er jevn. Serien som representerer odde tall er (2n + 1). Når n = 0, tilsvarer dette uttrykket 1; når n = 1, tilsvarer dette begrepet 3 og så videre til uendelig. I dette eksemplet bruker du denne representasjonen for eksponentene til x og fabrikkstedene i nevneren
Bruk representasjonen av funksjonen i stedet for den opprinnelige funksjonen. For mer avanserte og vanskeligere ligninger kan en Taylor-serie gjøre en uløselig ligning løsbar, eller i det minste gi en rimelig numerisk løsning.