Innhold
I matematikk er en sekvens en hvilken som helst rekke med tall ordnet i økende eller synkende rekkefølge. En sekvens blir en geometrisk sekvens når du er i stand til å oppnå hvert tall ved å multiplisere det forrige tallet med en felles faktor. For eksempel seriene 1, 2, 4, 8, 16. . . er en geometrisk sekvens med felles faktor 2. Hvis du multipliserer et hvilket som helst tall i serien med 2, får du neste tall. Derimot er sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . er ikke geometrisk fordi det ikke er noen vanlig faktor mellom tall. En geometrisk sekvens kan ha en felles brøkfaktor, i hvilket tilfelle hvert påfølgende tall er mindre enn det som går foran det. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . er et eksempel. Den vanlige faktoren er 1/2.
At en geometrisk sekvens har en felles faktor, lar deg gjøre to ting. Den første er å beregne et hvilket som helst tilfeldig element i sekvensen (som matematikere liker å kalle "nth" -elementet), og det andre er å finne summen av den geometriske sekvensen opp til det nde elementet. Når du summerer sekvensen ved å sette et plussignal mellom hvert par par av termer, gjør du sekvensen til en geometrisk serie.
Finne det nede elementet i en geometrisk serie
Generelt kan du representere enhver geometrisk serie på følgende måte:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
der "a" er den første termen i serien og "r" er den vanlige faktoren. For å sjekke dette, bør du vurdere serien a = 1 og r = 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . det fungerer!
Etter å ha etablert dette, er det nå mulig å utlede en formel for den niende termin i sekvensen (xn).
xn = ar(N-1)
Eksponenten er n - 1 i stedet for n for å tillate at den første termen i sekvensen skrives som ar0, som tilsvarer "a."
Sjekk dette ved å beregne fjerde termin i eksempelserien.
x4 = (1) • 23 = 8.
Beregne summen av en geometrisk sekvens
Hvis du vil oppsummere en divergent sekvens, som er en med en vanlig rasjon større enn 1 eller mindre enn -1, kan du bare gjøre det opp til et begrenset antall begreper. Det er imidlertid mulig å beregne summen av en uendelig konvergent sekvens, som er en med et vanlig forhold mellom 1 og -1.
For å utvikle den geometriske sumformelen, begynn med å vurdere hva du gjør. Du leter etter totalen av følgende serie med tillegg:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(N-1)
Hvert begrep i serien er ark, og k går fra 0 til n-1. Formelen for summen av serien benytter seg av kapitalsigma-tegnet - ∑ - som betyr å legge til alle begrep fra (k = 0) til (k = n - 1).
Σark = a
For å sjekke dette, må du vurdere summen av de første 4 begrepene i den geometriske serien som starter på 1 og har en felles faktor på 2. I formelen ovenfor, a = 1, r = 2 og n = 4. Når du kobler inn disse verdiene, få:
1 • = 15
Dette er enkelt å bekrefte ved å legge til tallene i serien selv. Når du trenger summen av en geometrisk serie, er det vanligvis lettere å legge til tallene selv når det bare er noen få termer. Hvis serien har et stort antall begreper, er det imidlertid langt enklere å bruke den geometriske sumformelen.