Hvordan beregne CG

Innhold

• Hvordan skrive om Center of Gravity
• Hvordan beregne CG av en trekant
• Center of Gravity Formula for a Rectangle
• Center of Gravity Equation
• Triks for å finne tyngdepunktet

La oss anta noen parametre før du diskuterer tyngdepunktet. Den ene, at du har å gjøre med et objekt som er på jordoverflaten, ikke ute i rommet et sted. Og to, at objektet er rimelig lite - si ikke et romskip som er parkert på jorden og venter på å ta av.Når alle disse utenomjordiske påvirkningene er eliminert, er du i en fin posisjon for å beregne tyngdepunkt for geometriske objekter ved å bruke en relativt enkel formel - og på grunn av disse forholdene som nettopp er satt, vil du bruke den samme formelen for å finne tyngdepunktet som å finne massesenteret.

Hvordan skrive om Center of Gravity

Tyngdepunkt i et todimensjonalt plan er vanligvis betegnet med koordinatene (x_cg, y_cg) eller noen ganger etter variablene x og y med en stolpe over seg. Dessuten er uttrykket "tyngdepunkt" noen ganger forkortet til cg.

Hvordan beregne CG av en trekant

Din matte- eller fysikkbok vil ofte ha diagrammer i den for å bestemme balansen i visse figurer. Men for noen vanlige geometriske former, kan du bruke den riktige tyngdepunktformelen for å finne det som former tyngdepunktet.

For trekanter sitter tyngdepunktet på det punktet der alle tre medianene krysser hverandre. Hvis du starter ved det ene toppunktet av trekanten og deretter tegner en rett linje til midtpunktet på den andre siden, er det en median. Gjør det samme for de to andre toppunktene, og poenget der alle tre medianene krysser hverandre er trekantene tyngdepunkt.

Og selvfølgelig er det en formel for det. Hvis koordinatene til trekantenes tyngdepunkt er (x_cg, y_cg), finner du koordinatene slik:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Hvor (x₁, y₁), (x₂, y₂) og (x₃, y₃) er koordinatene til trekantene tre hjørner. Du får velge hvilket toppunkt som blir tildelt hvilket nummer.

Center of Gravity Formula for a Rectangle

Merket du at for å finne tyngdepunktet for en trekant, bare gjennomsnittet verdien av x-koordinatene, deretter gjennomsnittet av verdien på y-koordinatene, og bruker de to resultatene som koordinatene for tyngdepunktet ditt?

For å finne tyngdepunktet for et rektangel gjør du nøyaktig det samme. Men for å gjøre beregningene enda enklere, antar du at rektangelet er orientert i rute mot et kartesisk koordinatplan (så det ikke er satt i vinkel), og at det øvre venstre hjørnet er på opprinnelsen til grafen. I så fall å finne (x_cg, y_cg) for et rektangel, alt du trenger å beregne er:

x_cg = bredde ÷ 2

y_cg = høyde ÷ 2

Hvis du ikke ønsker å flytte rektangelet til koordinatplanets opprinnelse, eller hvis det av en eller annen grunn ikke er nøyaktig firkantet med koordinataksene, kan du møte denne litt skumlere, men likevel effektive formelen for å gjennomsnittlig alle x-koordinatene for å finne verdien av x_cg, og gjennomsnitt alle y-koordinatene for å finne verdien av y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Center of Gravity Equation

Hva om du trenger å beregne tyngdepunkt for en form som passer til alle antagelsene først nevnt (i utgangspunktet, du prøver ikke å gjøre bokstavelig rakettvitenskap ved å finne tyngdepunktet for objekter ute i rommet), men det faller ikke inn i noe av kategoriene nettopp nevnt eller inn i listene bak i boken din? Deretter kan du dele opp formen din i mer kjente former, og bruke følgende ligninger for å finne deres kollektive tyngdepunkt:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Eller for å si det på en annen måte, x_cg tilsvarer området med seksjon 1 ganger sin plassering på x-aksen, lagt til området med seksjon 2 ganger plasseringen, og så videre til du har lagt opp området ganger plasseringen til alle seksjoner; del deretter hele beløpet med det totale arealet for alle seksjoner. Gjør deretter det samme for y.

Spørsmål: Hvordan finner jeg området til hver seksjon? Ved å dele din komplekse eller uregelmessige form i mer kjente polygoner kan du bruke standardiserte formler for å finne område. Hvis du for eksempel har delt den formen i rektangulære stykker, kan du bruke formellengden × bredden for å finne området til hvert stykke.

Spørsmål: Hva er "plasseringen" for hver seksjon? Plasseringen av hver seksjon er den aktuelle koordinaten fra de seksjonene tyngdepunkt. Så hvis du vil ha y₂ (stedet for segment 2), må du faktisk oppgi y-koordinaten for det segmentene tyngdepunkt. Igjen, dette er grunnen til at du deler en underlig formet gjenstand inn i mer kjente former, fordi du kan bruke formlene som allerede er diskutert for å finne hver form for tyngdepunkt, og deretter trekke ut de aktuelle koordinatene.

Spørsmål: Hvor går formen min på koordinatplanet? Du får velge hvor formen din sitter på koordinatplanet - bare husk at svarene tyngdepunktet ditt vil være i forhold til samme referansepunkt. Det er enklest å plassere objektet i den første kvadranten på grafen, med den nedre kanten mot x-aksen og venstre kanten mot y-aksen slik at alle x- og y-verdiene er positive, men også små nok til å være overkommelig.

Triks for å finne tyngdepunktet

Hvis du har å gjøre med et enkelt objekt, er intuisjon og litt logikk noen ganger alt du trenger for å finne tyngdepunktet. Hvis du for eksempel vurderer en flat disk, vil tyngdepunktet være sentrum av disken. I en sylinder er midtpunktet på sylinderaksen. For et rektangel (eller firkant) er det punktet der de diagonale linjene konvergerer.

Du har kanskje lagt merke til et mønster her: Hvis det aktuelle objektet har en symmetri linje, vil tyngdepunktet være på den linjen. Og hvis den har flere symmetriakser, vil tyngdepunktet være der disse aksene krysser hverandre.

Til slutt, hvis du prøver å finne tyngdepunktet for et virkelig komplekst objekt, har du to alternativer: Enten pisk ut de beste kalkuleringsintegralene (se Ressurser for et tredelt integral som representerer tyngdepunktet for en ikke-ensartet masse) eller legge inn dataene dine i en spesialbygd tyngdepunktkalkulator. (Se Ressurser for et eksempel på en tyngdepunktkalkulator for radiostyrte fly.)