Innhold
Kvadratiske ligninger danner en parabola når de er graferte. Parabolen kan åpne seg oppover eller nedover, og den kan forskyve seg opp eller ned eller horisontalt, avhengig av konstantene i ligningen når du skriver den i formen y = aks kvadrat + bx + c. Variablene y og x er tegnet på y- og x-aksene, og a, b og c er konstanter. Avhengig av hvor høyt parabolen er plassert på y-aksen, kan en ligning ha null, ett eller to x-avskjæringer, men den vil alltid ha en y-avskjæring.
Kontroller at ligningen din er en kvadratisk ligning ved å skrive den i formen y = aks kvadrat + bx + c der a, b og c er konstanter og a ikke er lik null. Finn y-avskjæringen for ligningen ved å la x være lik null. Ligningen blir y = 0x kvadrat + 0x + c eller y = c. Legg merke til at y-avskjæringen til en kvadratisk ligning skrevet i formen y = aks kvadrat + bx = c alltid vil være konstanten c.
For å finne x-avskjæringer for en kvadratisk ligning, la y = 0. Skriv ned den nye ligningen økset kvadrat + bx + c = 0 og den kvadratiske formelen som gir løsningen som x = -b pluss eller minus kvadratroten til ( b kvadrat - 4ac), alle delt med 2a. Den kvadratiske formelen kan gi null, en eller to løsninger.
Løs ligningen 2x kvadrat - 8x + 7 = 0 for å finne to x-avskjæringer. Plasser konstantene i den kvadratiske formelen for å få - (- 8) pluss eller minus kvadratroten av (-8 kvadrat - 4 ganger 2 ganger 7), alle delt med 2 ganger 2. Beregn verdiene for å få 8 +/- kvadrat rot (64 - 56), alle delt på 4. Forenkle beregningen for å få (8 +/- 2.8) / 4. Beregn svaret som 2,7 eller 1,3. Legg merke til at dette representerer parabolen som krysser x-aksen ved x = 1,3 når den synker til et minimum og deretter krysses igjen ved x = 2,7 når den øker.
Undersøk den kvadratiske formelen og merk at det er to løsninger på grunn av begrepet under kvadratroten. Løs ligningen x kvadrat + 2x +1 = 0 for å finne x-avskjæringer. Beregn begrepet under kvadratroten av den kvadratiske formelen, kvadratroten av 2 kvadrat - 4 ganger 1 ganger 1, for å få null. Beregn resten av den kvadratiske formelen for å få -2/2 = -1, og legg merke til at hvis begrepet under kvadratroten til den kvadratiske formelen er null, har den kvadratiske ligningen bare ett x-avskjæring, der parabolen bare berører x-aksen.
Legg merke til at hvis begrepet under kvadratroten er negativt, har formelen ingen løsning og den tilsvarende kvadratiske ligningen har ingen x-avskjæringer. Øk c, i ligningen fra forrige eksempel, til 2. Løs ligningen 2x kvadrat + x + 2 = 0 for å få x-avskjæringer. Bruk den kvadratiske formelen for å få -2 +/- kvadratrot av (2 kvadrat - 4 ganger 1 ganger 2), alle delt med 2 ganger 1. Forenkle for å få -2 +/- kvadratrot av (-4), alle delt med 2. Merk at kvadratroten av -4 ikke har noen reell løsning, og så viser den kvadratiske formelen at det ikke er noen x-avskjæringer. Grafer parabolen for å se at økende c har hevet parabolen over x-aksen slik at parabolen ikke lenger berører eller skjærer den.