Slik forenkler du komplekse tall

Innhold

• TL; DR (for lang; ikke lest)
• Hva er et sammensatt antall?
• Grunnleggende regler for algebra med komplekse tall
• Deler komplekse tall
• Forenkle komplekse tall

Algebra innebærer ofte å forenkle uttrykk, men noen uttrykk er mer forvirrende å håndtere enn andre. Komplekse tall involverer mengden kjent som Jeg, et "imaginært" nummer med eiendommen Jeg = √ − 1. Hvis du bare må ha et uttrykk med et sammensatt antall, kan det virke avskrekkende, men det er en ganske enkel prosess når du først har lært de grunnleggende reglene.

TL; DR (for lang; ikke lest)

Forenkle komplekse tall ved å følge reglene for algebra med komplekse tall.

Hva er et sammensatt antall?

Komplekse tall er definert av deres inkludering av Jeg begrep, som er kvadratroten til minus en. I matematikk på grunnleggende nivå eksisterer egentlig ikke firkantede røtter med negative tall, men de dukker av og til opp i algebraproblemer. Den generelle formen for et sammensatt antall viser strukturen:

z = en + bi

Hvor z merker det komplekse nummeret, en representerer et hvilket som helst tall (kalt den "virkelige" delen), og b representerer et annet tall (kalt den "imaginære" delen), som begge kan være positive eller negative. Så et eksempel på et komplekst antall er:

z = 2 −4_i_

Siden alle kvadratrøtter med negative tall kan være representert med flere Jeg, dette er skjemaet for alle komplekse tall. Teknisk beskriver et vanlig nummer bare et spesielt tilfelle av et komplekst tall hvor b = 0, slik at alle tall kan betraktes som sammensatte.

Grunnleggende regler for algebra med komplekse tall

For å legge til og trekke fra komplekse tall, bare legg til eller trekk fra de virkelige og imaginære delene hver for seg. Så for komplekse tall z = 2 - 4_i_ og w = 3 + 5_i_, summen er:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)Jeg

= 5 + 1_i_ = 5 + Jeg

Å trekke fra seg tallene fungerer på samme måte:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)Jeg

= −1 - 9_i_

Multiplikasjon er en annen enkel operasjon med komplekse tall, fordi den fungerer som vanlig multiplikasjon, bortsett fra at du må huske det Jeg² = −1. Så for å beregne 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Men siden Jeg²= −1, da:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

Med fulle komplekse tall (bruker z = 2 - 4_i_ og w = 3 + 5_i_ igjen), multipliserer du dem på samme måte som du ville gjort med vanlige tall som (en + b) (c + d), ved å bruke "første, indre, ytre, siste" (FOIL) -metoden, for å gi (en + b) (c + d) = ac + bc + annonse + bd. Alt du trenger å huske er å forenkle forekomster av Jeg². Så for eksempel:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Deler komplekse tall

Å dele komplekse tall innebærer å multiplisere telleren og nevner av brøkdelen med det komplekse konjugatet til nevneren. Det komplekse konjugatet betyr bare versjonen av det komplekse nummeret med den imaginære delen omgjort i tegn. Så for z = 2 - 4_i_, det komplekse konjugatet z = 2 + 4_i_, og for w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. For problemet:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Det konjugatet som trengs er w*. Del telleren og nevneren med dette for å gi:

z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Og så jobber du gjennom som i forrige avsnitt. Telleren gir:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Og nevneren gir:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Dette betyr:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Forenkle komplekse tall

Bruk reglene over etter behov for å forenkle komplekse uttrykk. For eksempel:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Jeg)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Jeg))

Dette kan forenkles ved å bruke tilleggsregelen i telleren, multiplikasjonsregelen i nevneren og deretter fullføre delingen. For telleren:

(4 + 2_i_) + (2 - Jeg) = 6 + Jeg

For nevneren:

(2 + 2_i _) (2+ Jeg) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Å sette disse på plass igjen gir:

z = (6 + Jeg) / (2 + 6_i_)

Å multiplisere begge deler med konjugatet til nevneren fører til:

z = (6 + Jeg) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Så dette betyr z forenkler som følger:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - Jeg)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ Jeg)) = 9/20 −17_i_ / 20