Innhold
- Hvor mange røtter?
- advarsler
- Finn røtter ved faktorering: Eksempel 1
- Finn røtter ved faktorering: Eksempel 2
- Finn røtter etter grafering
Røttene til et polynom kalles også dens nuller, fordi røttene er x verdier der funksjonen er lik null. Når det gjelder faktisk å finne røttene, har du flere teknikker til rådighet; factoring er metoden du ofte bruker, selv om grafering også kan være nyttig.
Hvor mange røtter?
Undersøk den høyeste grad av polynomet - det vil si begrepet med den høyeste eksponenten. Den eksponenten er hvor mange røtter polynomet vil ha. Så hvis den høyeste eksponenten i polynomet ditt er 2, har den to røtter; Hvis den høyeste eksponenten er 3, har den tre røtter; og så videre.
advarsler
Finn røtter ved faktorering: Eksempel 1
Den mest allsidige måten å finne røtter på er å fakturere polynomet ditt så mye som mulig, og deretter sette hvert begrep lik null. Dette gir mye mer mening når du har fulgt gjennom noen få eksempler. Tenk på det enkle polynomet x2 - 4_x: _
En kort undersøkelse viser at du kan faktorere x ut fra begge vilkårene i polynomet, som gir deg:
x(x – 4)
Sett hvert begrep til null. Det betyr å løse for to ligninger:
x = 0 er det første begrepet satt til null, og
x - 4 = 0 er det andre begrepet satt til null.
Du har allerede løsningen for første termin. Hvis x = 0, da er hele uttrykket lik null. Så x = 0 er en av røttene, eller nollene, til polynomet.
Nå bør du vurdere den andre terminperioden og løse for x. Hvis du legger til 4 på begge sider, har du:
x - 4 + 4 = 0 + 4, som forenkler til:
x = 4. Så hvis x = 4 så er den andre faktoren lik null, noe som betyr at hele polynomet er lik null også.
Fordi det opprinnelige polynomet var av andre grad (den høyeste eksponenten var to), vet du at det bare er to mulige røtter for dette polynomet. Du har allerede funnet dem begge, så alt du trenger å gjøre er å liste dem opp:
x = 0, x = 4
Finn røtter ved faktorering: Eksempel 2
Her er enda et eksempel på hvordan du kan finne røtter ved å fabrikke, ved å bruke noen fancy algebra underveis. Tenk på polynomet x4 16. En rask titt på eksponentene viser at det skal være fire røtter for dette polynomet. nå er det på tide å finne dem.
Merket du at dette polynomet kan skrives om som forskjellen på firkanter? Så i stedet for x4 - 16, du har:
(x2)2 – 42
Som bruker formelen for forskjellen på firkanter, faktorer som følger:
(x2 – 4)(x2 + 4)
Det første begrepet er igjen en kvadratforskjell. Så selv om du ikke kan faktorere begrepet til høyre lenger, kan du faktorere begrepet til venstre ett trinn til:
(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)
Nå er det på tide å finne nullene. Det blir raskt klart at hvis x = 2, den første faktoren vil være lik null, og dermed vil hele uttrykket være lik null.
Tilsvarende hvis x = -2, den andre faktoren vil være lik null, og dermed vil hele uttrykket.
Så x = 2 og x = -2 er begge nuller eller røtter til dette polynomet.
Men hva med den siste terminperioden? Fordi den har en "2" eksponent, bør den ha to røtter. Men du kan ikke faktorere dette uttrykket ved å bruke de reelle tallene du er vant til. Du må bruke et veldig avansert matematisk konsept kalt imaginære tall eller, hvis du foretrekker det, komplekse tall. Det er langt utenfor omfanget av din nåværende mattepraksis, så foreløpig er det nok til å merke seg at du har to virkelige røtter (2 og -2), og to imaginære røtter som du vil forlate udefinert.
Finn røtter etter grafering
Du kan også finne, eller i det minste estimere, røtter ved å tegne grafer. Hver rot representerer et sted der grafen til funksjonen krysser x akser. Så hvis du tegner linjen og noterer x koordinater der linjen krysser x akse, kan du sette inn estimert x verdiene for disse punktene i ligningen din og sjekk om du har fått dem riktig.
Tenk på det første eksemplet du jobbet, for polynomet x2 - 4_x_. Hvis du tegner den nøye, vil du se at linjen krysser linjen x akse kl x = 0 og x = 4. Hvis du legger inn hver av disse verdiene i den opprinnelige ligningen, får du:
02 - 4 (0) = 0, altså x = 0 var en gyldig null eller rot for dette polynomet.
42 - 4 (4) = 0, altså x = 4 er også en gyldig null eller rot for dette polynomet. Og fordi polynomet var av grad 2, vet du at du kan slutte å passe på å finne to røtter.