Innhold
I geometri er en åttekant en polygon med åtte sider. En vanlig åttekant har åtte like sider og like vinkler. Den vanlige åttekanten er ofte gjenkjent fra stoppskilt. En oktaeder er en åttesidig polyeder. En vanlig oktaeder har åtte trekanter med kanter av samme lengde. Det er faktisk to firkantede pyramider som møtes på basene deres.
Octagon Area Formula
Formelen for området til en vanlig åttekant med sider av lengden "a" er 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, der "sqrt" indikerer kvadratroten.
derivasjon
En åttekant kan sees på som fire rektangler, en firkant i midten og fire likebåndtrekanter i hjørnene.
Plassen er av område a ^ 2.
Trekantene har sidene a, a / sqrt (2) og a / sqrt (2), av Pythagorean-teoremet. Derfor har hver et område på a ^ 2/4.
Rektanglene er av området a * a / sqrt (2).
Summen av disse 9 områdene er 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Octahedron Volumformel
Formelen for volumet til en vanlig oktaeder med sidene "a" er en ^ 3 * kvadrat (2) / 3.
derivasjon
Arealet til en firsidig pyramide er areal med base * høyde / 3. Arealet til en vanlig åttekant er derfor 2 * base * høyde / 3.
Base = a ^ 2 trivielt.
Velg to tilstøtende hjørner, si "F" og "C." "O" er i sentrum. FOC er en likeben til høyre trekant med base "a", så OC og OF har lengde a / sqrt (2) av Pythagorean teorem. Altså høyde = a / sqrt (2).
Så volumet til en vanlig oktaeder er 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Flateareal
Den vanlige octahedrons overflaten er området av en liksidig trekant på siden "a" ganger 8 sider.
Hvis du vil bruke Pythagorean teorem, slipper du en linje fra toppen til basen. Dette skaper to høyre trekanter, med hypotenuse av lengden "a" og en sidelengde "a / 2." Derfor må den tredje siden være sqrt = sqrt (3) a / 2. Så området til en liksidig trekant er høyde * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Med 8 sider er overflatearealet til en vanlig oktaeder 2 * kvm (3) * a ^ 2.