Innhold
- Problemet med Super Bowl Math
- Finne en løsning (den langsomme måten)
- Den algebraiske løsningen
- Chicken McNugget-problemet
Med Super Bowl rett rundt hjørnet, har idrettsutøvere og fans av verden sitt fokus fast på storspillet. Men for _math_letes kan det store spillet komme til å tenke på et lite problem knyttet til de mulige resultatene i et fotballspill. Med bare begrensede alternativer for hvor mange poeng du kan score, er det ganske enkelt ikke noen summer som nås, men hva er det høyeste? Hvis du vil vite hva som kobler sammen mynter, fotball og McDonald's kyllingnuggets, er dette et problem for deg.
Problemet med Super Bowl Math
Problemet innebærer de mulige resultatene enten Los Angeles Rams eller New England Patriots muligens kan oppnå på søndag uten en sikkerhet eller en to-punkts konvertering. Med andre ord, de tillatte måtene å øke sine score er 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns. Så uten safeties kan du ikke oppnå en poengsum på 2 poeng i et spill med en kombinasjon av 3er og 7er. På samme måte kan du heller ikke oppnå en poengsum på 4, og du kan heller ikke score 5.
Spørsmålet er: Hva er den høyeste poengsummen som kan ikke oppnås med bare 3-punkts feltmål og 7-punkts touchdowns?
Selvfølgelig er touchdowns uten konvertering verdt 6, men siden du uansett kan komme til det med to feltmål, betyr det ikke noe for problemet. Siden vi har å gjøre med matematikk her, trenger du ikke å bekymre deg for det spesifikke lagets taktikk eller til og med noen begrensninger for deres evne til å score poeng.
Prøv å løse dette selv før du går videre!
Finne en løsning (den langsomme måten)
Dette problemet har noen komplekse matematiske løsninger (se Ressurser for detaljer, men hovedresultatet vil bli introdusert nedenfor), men det er et godt eksempel på hvordan dette ikke er behov for for å finne svaret.
Alt du trenger å gjøre for å finne en løsning for brute-force er å bare prøve hver av poengene etter tur. Så vi vet at du ikke kan score 1 eller 2, fordi de er mindre enn 3. Vi har allerede fastslått at 4 og 5 ikke er mulig, men 6 er, med to feltmål. Kan du score 8 etter 7 (som er mulig)? Nei. Tre feltmål gir 9, og et feltmål og en konvertert touchdown gjør 10. Men du kan ikke få 11.
Fra dette tidspunktet viser litt arbeid at:
begynne {justert} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 7 + (3 × 3) & = 16 (7 × 2) + 3 & = 17 slutt {justert}Og faktisk kan du fortsette slik så lenge du vil. Svaret ser ut til å være 11. Men er det?
Den algebraiske løsningen
Matematikere kaller disse problemene "Frobenius-myntproblemer." Den opprinnelige formen relatert til mynter, for eksempel: Hvis du bare hadde mynter verdsatt 4 cent og 11 cent (ikke ekte mynter, men igjen, det er matteproblemer for deg), hva er da den største hvor mye penger du ikke kunne produsere.
Løsningen, i form av algebra, er den med en poengsum verdt p poeng og en poengsum verdt q poeng, den høyeste poengsummen du ikke kan få (N) er gitt av:
N = pq ; - ; (p + q)Så å koble til verdiene fra Super Bowl-problemet gir:
begynne {justert} N & = 3 × 7 ; - ; (3 + 7) & = 21 ; - ; 10 & = 11 slutt {justert}Hvilket er svaret vi fikk den sakte veien. Så hva om du bare kunne score touchdowns uten konvertering (6 poeng) og touchdowns med konverteringer med ett poeng (7 poeng)? Se om du kan bruke formelen til å ordne den før du leser videre.
I dette tilfellet blir formelen:
begynne {justert} N & = 6 × 7 ; - ; (6 + 7) & = 42 ; - ; 13 & = 29 slutt {justert}Chicken McNugget-problemet
Så spillet er over, og du vil belønne det vinnende laget med en tur til McDonalds. Men de selger bare McNuggets i esker med 9 eller 20. Så hva er det høyeste antallet nuggets du? kan ikke kjøpe med disse (utdaterte) boksenumrene? Forsøk å bruke formelen for å finne svaret før du leser videre.
Siden
N = pq ; - ; (p + q)Og med p = 9 og q = 20:
begynne {justert} N & = 9 × 20 ; - ; (9 + 20) & = 180 ; - ; 29 & = 151 slutt {justert}Så forutsatt at du kjøpte mer enn 151 nuggets - det vinnende laget vil trolig være ganske sulten, tross alt - kunne du kjøpe et hvilket som helst antall nuggets du ville ha med en bokskombinasjon.
Du lurer kanskje på hvorfor vi bare har dekket to-nummer versjoner av dette problemet. Hva om vi innlemmet safeties, eller hvis McDonalds solgte tre størrelser med nugget-bokser? Det er ingen klar formel i dette tilfellet, og selv om de fleste versjoner av det kan løses, er noen aspekter av spørsmålet fullstendig uløst.
Så kanskje når du ser på spillet eller spiser små kyllingbiter, kan du hevde at du prøver å løse et åpent problem i matematikk - det er verdt å prøve å komme seg ut!