Innhold
- Derivatet som en skråning
- Derivatet av en kraftfunksjon
- Derivat fra en kraftserie
- Derivater fra tabeller
En av de viktige operasjonene du gjør i beregningen er å finne derivater. Derivatet av en funksjon kalles også endringshastigheten for den funksjonen. For eksempel, hvis x (t) er posisjonen til en bil når som helst t, er derivatet av x, som er skrevet dx / dt, bilens hastighet. Derivatet kan også visualiseres som skråningen til en linjetangens til grafen til en funksjon. På et teoretisk nivå er det slik matematikere finner derivater. I praksis bruker matematikere sett med grunnleggende regler og oppslagstabeller.
Derivatet som en skråning
Helningen på en linje mellom to punkter er stigningen, eller forskjellen i y-verdiene delt på løpet, eller forskjellen i x-verdiene. Helningen til en funksjon y (x) for en viss verdi av x er definert til å være skråningen til en linje som er tangent til funksjonen på punktet. For å beregne skråningen konstruerer du en linje mellom punktet og et nærliggende punkt, hvor h er et veldig lite tall. For denne linjen er løpet, eller endringen i x-verdien h, og stigningen, eller endringen i y-verdien, er y (x + h) - y (x). Følgelig er skråningen av y (x) ved punktet tilnærmet lik / = / h. For å få skråningen nøyaktig, beregner du verdien på skråningen når h blir mindre og mindre, til "grensen" der den går til null. Helningen beregnet på denne måten er derivatet av y (x), som er skrevet som y '(x) eller dy / dx.
Derivatet av en kraftfunksjon
Du kan bruke skråningen / begrensningsmetoden for å beregne derivater av funksjoner der y tilsvarer x til kraften til a, eller y (x) = x ^ a. For eksempel, hvis y tilsvarer x kubikk, y (x) = x ^ 3, så er dy / dx grensen da h går til null av / h. Utvidelse (x + h) ^ 3 gir / t, noe som reduseres til 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 etter at du har delt med h. I grensen når h går til null, går alle begrep som har h i seg også til null. Så, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Du kan gjøre dette for verdier av et annet enn 3, og generelt kan du vise at d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivat fra en kraftserie
Mange funksjoner kan skrives som det som kalles en kraftserie, som er summen av et uendelig tallbegrep, der hver har form C (n) x ^ n, hvor x er en variabel, n er et helt tall og C ( n) er et spesifikt tall for hver verdi av n. For eksempel er kraftserien for sinusfunksjonen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., der "..." betyr uttrykk som fortsetter på til uendelig. Hvis du kjenner kraftserien for en funksjon, kan du bruke derivatet til kraften x ^ n til å beregne funksjonens derivat. For eksempel er derivatet av Sin (x) lik 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., som tilfeldigvis er kraftserien for Cos (x).
Derivater fra tabeller
Derivater fra grunnleggende funksjoner som krefter som x ^ a, eksponentielle funksjoner, loggfunksjoner og triggefunksjoner, blir funnet ved hjelp av helling / begrensningsmetode, kraftseriemetoden eller andre metoder. Disse derivatene blir deretter oppført i tabeller. For eksempel kan du slå opp at derivatet av Sin (x) er Cos (x). Når komplekse funksjoner er kombinasjoner av grunnleggende funksjoner, trenger du spesielle regler som kjederegel og produktregel, som også er gitt i tabellene. For eksempel bruker du kjederegelen for å finne at derivatet til Sin (x ^ 2) er 2xCos (x ^ 2). Du bruker produktregelen for å finne at derivatet til xSin (x) er xCos (x) + Sin (x). Ved hjelp av tabeller og enkle regler kan du finne derivatet til hvilken som helst funksjon. Men når en funksjon er ekstremt kompleks, ty forskere noen ganger til dataprogrammer for å få hjelp.