Innhold
Endringshastigheter dukker opp over hele i vitenskapen, og spesielt i fysikk gjennom mengder som hastighet og akselerasjon. Derivater beskriver endringshastigheten for en mengde i forhold til en annen matematisk, men å beregne dem kan være komplisert noen ganger, og du kan presentere en graf i stedet for en funksjon i ligningsform. Hvis du blir presentert for en graf over en kurve og må finne derivatet fra den, er du kanskje ikke i stand til å være så nøyaktig som med en ligning, men du kan enkelt lage et solid estimat.
TL; DR (for lang; ikke lest)
Velg et punkt på grafen for å finne verdien av derivatet på.
Tegn en rett linje tangens til kurven til grafen på dette punktet.
Ta skråningen på denne linjen for å finne verdien av derivatet på det valgte punktet på grafen.
Hva er et derivat?
Utenom den abstrakte settingen for å differensiere en ligning, er du kanskje litt forvirret over hva et derivat egentlig er. I algebra er et derivat av en funksjon en ligning som forteller deg verdien til "skråningen" til funksjonen når som helst. Med andre ord, det forteller deg hvor mye det ene antallet endres gitt en liten endring i det andre. På en graf forteller gradienten eller helningen på linjen deg hvor mye den avhengige variabelen (plassert på y-aks) endres med den uavhengige variabelen (på x-akser).
For rettlinjede grafer bestemmer du endringshastigheten (konstant) ved å beregne helning på grafen. Forhold som er beskrevet av kurver er ikke like enkle å håndtere, men prinsippet om at derivatet bare betyr skråningen (på det bestemte punktet) stemmer fremdeles.
For forhold som er beskrevet av kurver, tar derivatet en annen verdi på hvert punkt langs kurven. For å estimere derivatet til grafen, må du velge et punkt å ta derivatet på. Hvis du for eksempel har en graf som viser tilbakelagt avstand mot tid, på en rettlinjet graf, vil skråningen fortelle deg den konstante hastigheten. For hastigheter som endres med tiden, vil grafen være en kurve, men en rett linje som bare berører kurven på ett punkt (en linje tangensiell til kurven) representerer endringshastigheten på det spesifikke punktet.
Velg et sted du trenger å kjenne derivatet på. Ved å bruke avstanden som er reist kontra tid, velger du klokkeslettet du vil vite hastigheten på. Hvis du trenger å vite hastigheten på flere forskjellige punkter, kan du kjøre gjennom denne prosessen for hvert enkelt punkt. Hvis du vil vite hastigheten 15 sekunder etter bevegelsesstart, velger du stedet på kurven med 15 sekunder på x-akser.
Tegn en linje tangensiell til kurven på det punktet du er interessert i. Ta deg god tid når du gjør dette, fordi det er den viktigste og mest utfordrende delen av prosessen. Ditt estimat vil være bedre hvis du tegner en mer nøyaktig tangentlinje. Hold en linjal opp til punktet på kurven og juster retningen slik at linjen du tegner kun berør kurven på det samme punktet du er interessert i.
Tegn linjen din så lenge grafen tillater. Sørg for at du enkelt kan lese to verdier for begge x og y koordinater, en nær starten av linjen din og en nær slutten. Du trenger ikke absolutt å tegne en lang strek (teknisk sett er enhver rett linje egnet), men lengre linjer har en tendens til å være lettere å måle skråningen.
Finn to steder på linjen din og noter x og y koordinater for dem. Tenk deg for eksempel tangentlinjen din som to bemerkelsesverdige steder på x = 1, y = 3 og x = 10, y = 30, som du kan kalle punkt 1 og punkt 2. Bruk symbolene x1 og y1 å representere koordinatene til det første punktet og x2 og y2 for å representere koordinatene til det andre punktet, skråningen m er gitt av:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Dette forteller deg derivatet av kurven på det punktet der linjen berører kurven. I eksemplet x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 og y2 = 30, så:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
I eksempelet ville dette resultatet være hastigheten på det valgte punktet. Så hvis x-aksen ble målt i sekunder og y-aksen ble målt i meter, resultatet ville medføre at det aktuelle kjøretøyet kjørte med 3 meter per sekund. Uavhengig av den spesifikke mengden du beregner, er prosessen med å estimere derivatet den samme.