Innhold
I matematikk oppstår behovet noen ganger for å bevise om funksjoner er avhengige eller uavhengige av hverandre i en lineær forstand. Hvis du har to funksjoner som er lineære avhengig, vil grafering av ligningene for disse funksjonene resultere i punkter som overlapper hverandre. Funksjoner med uavhengige ligninger overlapper ikke når de graferes. En metode for å bestemme om funksjoner er avhengige eller uavhengige, er å beregne Wronskian for funksjonene.
Hva er en Wronskian?
Wronskian med to eller flere funksjoner er det som kalles en determinant, som er en spesiell funksjon som brukes til å sammenligne matematiske objekter og bevise visse fakta om dem. Når det gjelder Wronskian brukes determinanten for å bevise avhengighet eller uavhengighet mellom to eller flere lineære funksjoner.
The Wronskian Matrix
For å beregne Wronskian for lineære funksjoner, må funksjonene løses for samme verdi i en matrise som inneholder både funksjonene og deres derivater. Et eksempel på dette er W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, som gir Wronskian for to funksjoner (f og g) som løses for en enkelt verdi som er større enn null (t); Du kan se de to funksjonene f (t) og g (t) i den øverste raden i matrisen, og derivatene f (t) og g (t) i den nederste raden. Merk at Wronskian også kan brukes til større sett. Hvis du for eksempel tester tre funksjoner med en Wronskian, kan du fylle en matrise med funksjonene og derivater av f (t), g (t) og h (t).
Løs Wronskian
Når du har funksjonene arrangert i en matrise, kryss multipliserer du hver funksjon mot derivatet til den andre funksjonen og trekker den første verdien fra den andre. For eksempelet over gir dette deg W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Hvis det endelige svaret er lik null, viser dette at de to funksjonene er avhengige. Hvis svaret er noe annet enn null, er funksjonene uavhengige.
Wronskian-eksempel
For å gi deg en bedre ide om hvordan dette fungerer, antar du at f (t) = x + 3 og g (t) = x - 2. Ved å bruke en verdi på t = 1 kan du løse funksjonene som f (1) = 4 og g (1) = -1. Ettersom dette er grunnleggende lineære funksjoner med en helning på 1, er derivatene av både f (t) og g (t) lik 1. Kryssmultiplikering av verdiene dine gir til W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), som gir et endelig resultat på 5. Selv om de lineære funksjonene begge har den samme skråningen, er de uavhengige fordi poengene deres ikke overlapper hverandre. Hvis f (t) hadde gitt et resultat av -1 i stedet for 4, ville Wronskian gitt et resultat av null i stedet for å indikere avhengighet.