Innhold
Noen ganger er "eksponentiell vekst" bare en tale, en referanse til alt som vokser urimelig eller utrolig raskt. Men i visse tilfeller kan du ta ideen om eksponentiell vekst bokstavelig talt. For eksempel kan en bestand av kaniner vokse eksponentielt etter hvert som hver generasjon spredes, deretter spredes deres avkom, og så videre. Forretningsinntekter eller personlig inntekt kan vokse eksponentielt også. Når du blir bedt om å gjøre reelle beregninger av eksponentiell vekst, jobber du med tre opplysninger: Startverdi, veksthastighet (eller forfall) og tid.
TL; DR (for lang; ikke lest)
TL; DR (for lang; ikke lest)
For å beregne eksponentiell vekst, bruk formelen y(t) = a__ekt, hvor en er verdien i starten, k er veksten eller forfallet, t er tid og y(t) er populasjonsverdien til tiden t.
Hvordan beregne eksponentielle vekstrater
Se for deg at en forsker studerer veksten av en ny bakterieart. Mens han kunne legge inn verdiene for startmengde, veksthastighet og tid i en populasjonsvekstberegner, bestemte han seg for å beregne bakteriepopulasjonene for vekst manuelt.
Når han ser tilbake på de grundige registreringene hans, ser forskeren at startpopulasjonen hans var 50 bakterier. Fem timer senere målte han 550 bakterier.
Inndata forskerne informasjon i ligningen for eksponentiell vekst eller forfall, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Den eneste ukjente som er igjen i ligningen er k, eller hastigheten på eksponentiell vekst.
Å begynne å løse for k, del først begge sider av ligningen med 50. Dette gir deg:
550/50 = (50_ek_5) / 50, som forenkler til:
11 = e_k_5
Deretter tar du den naturlige logaritmen fra begge sider, som er notert som ln (x). Dette gir deg:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturlige logaritmen er den inverse funksjonen til ex, slik at det effektivt "angre" ex funksjon på høyre side av ligningen, og etterlater deg:
ln (11) = _k_5
Del deretter begge sider med 5 for å isolere variabelen, som gir deg:
k = ln (11) / 5
Du kjenner nå eksponentiell vekst for denne bakteriepopulasjonen: k = ln (11) / 5. Hvis du skal gjøre ytterligere beregninger med denne populasjonen - for eksempel å koble veksttakten til ligningen og estimere populasjonsstørrelsen til t = 10 timer - det er best å la svaret være i dette skjemaet. Men hvis du ikke utfører ytterligere beregninger, kan du legge inn den verdien i en eksponentiell funksjonskalkulator - eller din vitenskapelige kalkulator - for å få en estimert verdi på 0.479579. Avhengig av de eksakte parametrene for eksperimentet ditt, kan du avrunde det til 0,48 / time for enkel beregning eller notering.