Innhold
- Å løse et system for likninger ved substitusjon
- Tips
- Løsning av et ligningssystem ved eliminering
- Løsning av et system av ligninger ved å tegne grafikk
Å løse et system med samtidige ligninger virker som en veldig skremmende oppgave med det første. Med mer enn en ukjent mengde å finne verdien for, og tilsynelatende veldig liten måte å skille ut en variabel fra en annen, kan det være en hodepine for personer som er nye i algebra. Imidlertid er det tre forskjellige metoder for å finne løsningen på ligningen, hvor to avhenger mer av algebra og er litt mer pålitelige, og den andre gjør systemet om til en serie linjer på en graf.
Å løse et system for likninger ved substitusjon
Løs et system av samtidige ligninger ved substitusjon ved først å uttrykke den ene variabelen i form av den andre. Bruke disse ligningene som eksempel:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Arranger den enkleste ligningen å jobbe med, og bruk denne for å sette inn i den andre. I dette tilfellet, legge til y til begge sider av den første ligningen gir:
x = y + 5
Bruk uttrykket for x i den andre ligningen for å produsere en ligning med en enkelt variabel. I eksemplet gjør dette den andre ligningen:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Samle lignende vilkår for å få:
5_y_ + 15 = 5
Re-ordne og løse for y, starter med å trekke fra 15 fra begge sider:
5_y_ = 5 - 15 = −10
Å dele begge sider med 5 gir:
y = −10 ÷ 5 = −2
Så y = −2.
Sett dette resultatet i begge ligningene for å løse for den gjenværende variabelen. På slutten av trinn 1 fant du ut at:
x = y + 5
Bruk verdien du fant for y å få:
x = −2 + 5 = 3
Så x = 3 og y = −2.
Tips
Løsning av et ligningssystem ved eliminering
Se på ligningene dine for å finne en variabel du vil fjerne:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
I eksemplet kan du se at en ligning har -y og den andre har + 2_y_. Hvis du legger to ganger den første ligningen til den andre, er y vilkårene vil avbryte og y ville bli eliminert. I andre tilfeller (f.eks. Hvis du ville eliminere x), kan du også trekke fra et multiplum av den ene ligningen fra den andre.
Multipliser den første ligningen med to for å forberede den på eliminasjonsmetoden:
2 × (x – y) = 2 × 5
Så
2_x_ - 2_y_ = 10
Fjern den valgte variabelen ved å legge til eller trekke den ene ligningen fra den andre. I eksemplet kan du legge til den nye versjonen av den første ligningen til den andre ligningen for å få:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Så dette betyr:
5_x_ = 15
Løs for den gjenværende variabelen. I eksemplet, del begge sider med 5 for å få:
x = 15 ÷ 5 = 3
Som før.
Som i forrige tilnærming, når du har en variabel, kan du sette dette inn i begge uttrykkene og ordne på nytt for å finne den andre. Bruke den andre ligningen:
3_x_ + 2_y_ = 5
Så siden x = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Trekk 9 fra begge sider for å få:
2_y_ = 5 - 9 = −4
Til slutt, del med to for å få:
y = −4 ÷ 2 = −2
Løsning av et system av ligninger ved å tegne grafikk
Løs systemer for ligninger med minimal algebra ved å tegne hver ligning og se etter x og y verdi der linjene skjærer hverandre. Konverter hver ligning til form for skråning-avskjæring (y = mx + b) først.
Det første eksempelet på ligningen er:
x – y = 5
Dette kan enkelt konverteres. Legge til y til begge sider og trekk deretter 5 fra begge sider for å få:
y = x – 5
Som har en helning på m = 1 og a y-avskjæring av b = −5.
Den andre ligningen er:
3_x_ + 2_y_ = 5
Trekk 3_x_ fra begge sider for å få:
2_y_ = −3_x_ + 5
Del deretter med 2 for å få skråskjæringsformen:
y = −3_x_ / 2 + 5/2
Så dette har en helning på m = -3/2 og a y-avskjæring av b = 5/2.
Bruke y avskjære verdier og bakkene for å plotte begge linjene på en graf. Den første ligningen krysser y akse kl y = −5, og y verdien øker med 1 hver gang x verdien øker med 1. Dette gjør linjen enkel å tegne.
Den andre ligningen krysser y akse på 5/2 = 2,5. Det skråner nedover, og y verdien synker med 1,5 hver gang x verdien øker med 1. Du kan beregne y verdi for ethvert punkt på x aksen ved å bruke ligningen hvis det er enklere.
Finn punktet hvor linjene skjærer hverandre. Dette gir dere begge x og y koordinater for løsningen på ligningssystemet.