Innhold
- TL; DR (for lang; ikke lest)
- Matematisk representasjon
- Bestemme domenet
- Når er ikke en relasjon en funksjon?
I matematikk er en funksjon en regel som knytter hvert element i ett sett, kalt domenet, til nøyaktig ett element i et annet sett, kalt området. På en x-y-akse er domenet representert på x-aksen (horisontal akse) og domenet på y-aksen (vertikal akse). En regel som knytter ett element i domenet til mer enn ett element i området, er ikke en funksjon. Dette kravet betyr at hvis du tegner en funksjon, ikke kan du finne en vertikal linje som krysser grafen mer enn ett sted.
TL; DR (for lang; ikke lest)
En relasjon er en funksjon bare hvis den relaterer hvert element i sitt domene til bare ett element i området. Når du tegner en funksjon, vil en loddrett linje skjære den sammen på bare ett punkt.
Matematisk representasjon
Matematikere representerer vanligvis funksjoner med bokstavene "f (x)", selv om andre bokstaver fungerer like bra. Du leser bokstavene som "f av x." Hvis du velger å representere funksjonen som g (y), vil du lese den som "g av y." Ligningen for funksjonen definerer regelen som inngangsverdien x blir transformert til et annet tall. Det er uendelig mange måter å gjøre dette på. Her er tre eksempler:
f (x) = 2x
g (y) = y2 + 2y + 1
p (m) = 1 / √ (m - 3)
Bestemme domenet
Antall sett som funksjonen "fungerer" for er domenet. Dette kan være alle tall, eller det kan være et bestemt sett med tall. Domenet kan også være alle tall bortsett fra ett eller to som funksjonen ikke fungerer for. For eksempel er domenet for funksjonen f (x) = 1 / (2-x) alle tall bortsett fra 2, fordi når du legger inn to, er nevneren 0, og resultatet er udefinert. Domenet for 1 / (4 - x2), derimot, er alle tall unntatt +2 og -2 fordi kvadratet for begge disse tallene er 4.
Du kan også identifisere domenet til en funksjon ved å se på grafen. Begynn ytterst til venstre og flytt til høyre, tegne loddrette linjer gjennom x-aksen. Domenet er alle verdiene til x som linjen skjærer grafen for.
Når er ikke en relasjon en funksjon?
Per definisjon knytter en funksjon hvert element i domenet til bare ett element i området. Dette betyr at hver vertikale linje du tegner gjennom x-aksen kan skjære funksjonen på bare ett punkt. Dette fungerer for alle lineære ligninger og likninger med høyere effekt der bare x-termen heves til en eksponent. Det fungerer ikke alltid for ligninger der både x- og y-begrepene heves til en kraft. For eksempel x2 + y2 = a2 definerer en sirkel. En vertikal linje kan skjære en sirkel på mer enn ett punkt, så denne ligningen er ikke en funksjon.
Generelt er et forhold f (x) = y bare en funksjon hvis du bare får én verdi for y for hver verdi av x som du kobler til den. Noen ganger er den eneste måten å si om et gitt forhold er en funksjon eller ikke, å prøve forskjellige verdier for x for å se om de gir unike verdier for y.
eksempler: Definerer følgende ligninger funksjoner?
y = 2x +1 Dette er likningen av en rett linje med skråning 2 og y-avskjæring 1, så det ER en funksjon.
y2 = x + 1 La x = 3. Verdien for y kan da være ± 2, så dette ER IKKE en funksjon.
y3 = x2 Uansett hvilken verdi vi setter for x, får du bare en verdi for y, så dette ER en funksjon.
y2 = x2 Fordi y = ± √x2, dette ER IKKE en funksjon.