Innhold
- TL; DR (for lang; ikke lest)
- Samfunnsidentiteter i grader:
- Samfunnsidentiteter i radianer
- Cofunction Identities Proof
- Kofunksjonskalkulator
Noen gang lurt på hvordan trigonometriske funksjoner som sinus og kosinus henger sammen? De er begge brukt til å beregne sider og vinkler i trekanter, men forholdet går lenger enn det. Samfunnsidentiteter gi oss spesifikke formler som viser hvordan man konverterer mellom sinus og cosinus, tangens og cotangent, og secant og cosecant.
TL; DR (for lang; ikke lest)
En vinkels sinus tilsvarer kosinus for komplementet og omvendt. Dette gjelder også for andre medfunksjoner.
En enkel måte å huske hvilke funksjoner som er medfunksjoner er at to triggefunksjoner er cofunctions hvis en av dem har "co-" prefikset foran seg. Så:
Vi kan beregne frem og tilbake mellom medfunksjoner ved å bruke denne definisjonen: Verdien til en funksjon av en vinkel tilsvarer verdien av tilkoblingen til komplementet.
Det høres komplisert ut, men i stedet for å snakke om verdien av en funksjon generelt kan vi bruke et spesifikt eksempel. De sinus av en vinkel er lik cosinus av komplementet. Og det samme gjelder for andre medfunksjoner: En vinkeltangens tilsvarer cotangenten for komplementet.
Husk: To vinkler er det utfyller hvis de legger opp til 90 grader.
Samfunnsidentiteter i grader:
(Legg merke til at 90 ° - x gir oss et vinklekomplement.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
brunfarge (x) = barneseng (90 ° - x)
barneseng (x) = brunfarge (90 ° - x)
sek (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sek (90 ° - x)
Samfunnsidentiteter i radianer
Husk at vi også kan skrive ting med tanke på radianer, som er SI-enheten for måling av vinkler. Nitti grader er det samme som π / 2 radianer, så vi kan også skrive medvirkende identiteter som dette:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
brunfarge (x) = barneseng (π / 2 - x)
barneseng (x) = solbrun (π / 2 - x)
sek (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sek (π / 2 - x)
Cofunction Identities Proof
Alt dette høres fint ut, men hvordan kan vi bevise at dette er sant? Testing av deg selv på et par eksempler på trekanter kan hjelpe deg med å føle deg trygg på det, men det er også et strengere algebraisk bevis. La oss bevise medvirkende identiteter for sinus og kosinus. Skal jobbe i radianer, men det er det samme som å bruke grader.
Bevis: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Først av alt, nå langt tilbake i minnet til denne formelen, fordi vi skulle bruke den til vårt bevis:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Har det? OK. La oss nå bevise: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan skrive om cos (π / 2 - x) slik:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), fordi vi vet cos (π / 2) = 0 og sin (π / 2) = 1.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! La oss nå bevise det med kosinus!
Bevis: cos (x) = sin (π / 2 - x)
Nok en eksplosjon fra fortiden: Husker du denne formelen?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Var i ferd med å bruke den. La oss nå bevise: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Vi kan omskrive synd (π / 2 - x) slik:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), fordi vi kjenner synd (π / 2) = 1 og cos (π / 2) = 0.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Kofunksjonskalkulator
Prøv noen eksempler som arbeider med medfunksjoner på egen hånd. Men hvis du blir sittende fast, har Math Celebrity en kofunksjonskalkulator som viser trinn-for-trinn-løsninger på cofunksjonsproblemer.
Glad beregning!