Hvordan faktorere polynomer med brudd

Innhold

• Polynomer med fraksjoner definert
• Grunnleggende om factoring - Distribuerende eiendom og FOIL-metode
• Fremgangsmåte å ta når faktorering av polynom fraksjoner
• Evaluering av ligninger via partiell fraksjonsnedbryting
• Forenkle nevneren
• Omorganiser telleren

Den beste måten å faktorere polynomer med fraksjoner begynner med å redusere fraksjonene til enklere termer. Polynomier representerer algebraiske uttrykk med to eller flere uttrykk, nærmere bestemt summen av flere uttrykk som har forskjellige uttrykk for den samme variabelen. Strategier som hjelper til med å forenkle polynomer involverer å utarbeide den største vanlige faktoren, etterfulgt av gruppering av ligningen i dens laveste vilkår. Det samme gjelder selv når du løser polynomer med brøk.

Polynomer med fraksjoner definert

Du har tre måter du kan se på frasen polynomier med brøk. Den første tolkningen tar for seg polynomer med fraksjoner for koeffisienter. I algebra er koeffisienten definert som tallmengde eller konstant som er funnet før en variabel. Med andre ord er koeffisientene for 7a, b og (1/3) c henholdsvis 7, 1 og (1/3). To eksempler på polynomer med fraksjonskoeffisienter er derfor:

(1/4) x² + 6x + 20 samt x² + (3/4) x + (1/8).

Den andre tolkningen av “polynomier med brøk” refererer til polynomier som eksisterer i fraksjon eller forholdsform med en teller og en nevner, der tellerens polynom er delt med nevnerens polynom. For eksempel er denne andre tolkningen illustrert av:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Den tredje tolkningen forholder seg i mellomtiden til nedbrytning av delvis fraksjon, også kjent som utvidelse av delvis fraksjon. Noen ganger er polynomiale fraksjoner komplekse, slik at når de "dekomponeres" eller "deles ned" til enklere termer, blir de presentert som summer, forskjeller, produkter eller kvoter av polynomfraksjoner. For å illustrere den komplekse polynomfraksjonen av (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) evalueres ved delvis dekomponering av fraksjoner, som for øvrig innebærer innføring av polynomer, for å være + i enkleste form.

Grunnleggende om factoring - Distribuerende eiendom og FOIL-metode

Faktorer representerer to tall som når multiplisert sammen tilsvarer et tredje tall. I algebraiske ligninger bestemmer factoring hvilke to mengder som ble multiplisert sammen for å komme frem til et gitt polynom. Distribusjonsegenskapen følges tungt når multiplum multipliseres. Distribusjonsegenskapen gjør at man i utgangspunktet kan multiplisere en sum ved å multiplisere hvert tall individuelt før man legger til produktene. Se for eksempel hvordan fordelingsegenskapene brukes i eksempelet på:

7 (10x + 5) for å komme frem til binomialet på 70x + 35.

Men hvis to binomialer multipliseres sammen, brukes en utvidet versjon av distribusjonsegenskapen via FOIL-metoden. FOIL representerer forkortelsen for at begrepene Ytre, Ytre og Indre blir multiplisert. Derfor innebærer faktorisering av polynomer utføring av FOIL-metoden bakover. Ta de to nevnte eksemplene med polynomene som inneholder fraksjonskoeffisienter. Å utføre FOIL-metoden bakover på hver av dem resulterer i faktorene til:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) for det første polynomet og faktorene til:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) for det andre polynomet.

Eksempel: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Eksempel: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Fremgangsmåte å ta når faktorering av polynom fraksjoner

Fra oven involverer polynomiale fraksjoner et polynom i telleren delt med et polynom i nevneren. Evaluering av polynomfraksjoner nødvendiggjør således faktorering av tellerens polynom først etterfulgt av faktorisering av nevnerens polynom. Det hjelper med å finne den største vanlige faktoren, eller GCF, mellom telleren og nevneren. Når GCF for både telleren og nevneren er funnet, kansellerer den, og til slutt reduserer hele ligningen til forenklede vilkår. Tenk på det originale polynomfraksjonseksemplet ovenfor

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Faktorering av telleren og nevner-polynomene for å finne GCF-resultater i:

÷, med GCF som (x + 2).

GCF i både telleren og nevneren avbryter hverandre for å gi det endelige svaret med de laveste vilkårene for (x + 5) ÷ (x + 9).

Eksempel:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Evaluering av ligninger via partiell fraksjonsnedbryting

Delvis brøkdeponering, som involverer faktorering, er en måte å omskrive komplekse polynomfraksjonslikninger til en enklere form. Gjenopplever eksemplet ovenfra av

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Forenkle nevneren

Forenkle nevneren for å få: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Omorganiser telleren

Deretter ordner du telleren slik at den begynner å ha GCF-ene til stede i nevneren, for å få:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, som utvides videre til {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

For venstre addend er GCF (x - 1), mens for høyre addend er GCF (x + 2), som avbryter i telleren og nevneren, som sett i {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Når GCF-ene avbryter, er det endelige forenklede svaret +:

3 5

__ + __ som løsningen av den partielle fraksjonens nedbrytning.

x + 2 x - 1