Euklidisk avstand er avstanden mellom to punkter i det euklidiske rommet. Euklidisk rom ble opprinnelig utformet av den greske matematikeren Euclid rundt 300 f.Kr. å studere sammenhengene mellom vinkler og avstander. Dette geometri-systemet er fortsatt i bruk i dag og er det studenter på videregående skole studerer oftest. Euklidisk geometri gjelder spesielt for mellomrom med to og tre dimensjoner. Imidlertid kan det lett generaliseres til høyere orden dimensjoner.
Beregn den euklidiske avstanden for en dimensjon. Avstanden mellom to punkter i en dimensjon er ganske enkelt den absolutte verdien av forskjellen mellom koordinatene deres. Matematisk vises dette som | p1 - q1 | hvor p1 er den første koordinaten til det første punktet og q1 er den første koordinaten til det andre punktet. Vi bruker den absolutte verdien av denne forskjellen siden avstand normalt anses å ha en ikke-negativ verdi.
Ta to punkter P og Q i todimensjonalt euklidisk rom. Vi vil beskrive P med koordinatene (p1, p2) og Q med koordinatene (q1, q2). Konstruer nå et linjesegment med endepunktene til P og Q. Dette linjesegmentet vil danne hypotenusen til en høyre trekant. Ved å utvide resultatene oppnådd i trinn 1, bemerker vi at lengden på bena i denne trekanten er gitt av | p1 - q1 | og | p2 - q2 |. Avstanden mellom de to punktene vil da bli gitt som lengden på hypotenusen.
Bruk Pythagorean teorem for å bestemme lengden på hypotenusen i trinn 2. Dette teoremet sier at c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 hvor c er lengden på en høyre trekant hypotenuse og a, b er lengdene til den andre to bein. Dette gir oss c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Avstanden mellom 2 punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) i todimensjonalt rom er derfor ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Utvid resultatene fra trinn 3 til tredimensjonalt rom. Avstanden mellom punktene P = (p1, p2, p3) og Q = (q1, q2, q3) kan deretter gis som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generaliser løsningen i trinn 4 for avstanden mellom to punkter P = (p1, p2, ..., pn) og Q = (q1, q2, ..., qn) i n dimensjoner. Denne generelle løsningen kan gis som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).