Innhold
- Matriser, Eigenverdier og Eigenvektorer: Hva de betyr
- Hvordan beregne Eigenvalues
- Tips
- Finne Eigenvectors
Når du blir presentert for en matrise i en matte- eller fysikklasse, blir du ofte bedt om å finne egenverdiene. Hvis du ikke er sikker på hva det vil si eller hvordan du gjør det, er oppgaven skremmende, og den innebærer mye forvirrende terminologier som gjør saken enda verre. Prosessen med å beregne egenverdier er imidlertid ikke for utfordrende hvis du er komfortabel med å løse kvadratiske (eller polynomiske) ligninger, forutsatt at du lærer det grunnleggende om matriser, egenverdier og egenvektorer.
Matriser, Eigenverdier og Eigenvektorer: Hva de betyr
Matriser er matriser av tall der A står inne for navnet på en generisk matrise, slik:
( 1 3 )
EN = ( 4 2 )
Tallene i hver posisjon varierer, og det kan til og med være algebraiske uttrykk i deres sted. Dette er en 2 × 2-matrise, men de kommer i forskjellige størrelser og har ikke alltid like antall rader og kolonner.
Håndtering av matriser er forskjellig fra å håndtere vanlige tall, og det er spesifikke regler for å multiplisere, dele, legge til og trekke dem fra hverandre. Uttrykkene "egenverdi" og "egenvektor" brukes i matrisealgebra for å referere til to karakteristiske mengder med hensyn til matrisen. Dette egenverdiproblemet hjelper deg å forstå hva begrepet betyr:
EN ∙ v = λ ∙ v
EN er en generell matrise som før, v er noe vektor, og λ er en karakteristisk verdi. Se på ligningen og legg merke til at når du multipliserer matrisen med vektoren v, er effekten å gjengi den samme vektoren bare multiplisert med verdien λ. Dette er uvanlig oppførsel og tjener vektoren v og mengde λ spesialnavn: egenvektor og egenverdi. Dette er karakteristiske verdier for matrisen fordi det å multiplisere matrisen med egenvektoren lar vektoren være uendret bortsett fra multiplikasjon med en faktor av egenverdien.
Hvordan beregne Eigenvalues
Hvis du har egenverdiproblemet for matrisen i en eller annen form, er det enkelt å finne egenverdien (fordi resultatet vil være en vektor som er den samme som den opprinnelige, bortsett fra multiplisert med en konstant faktor - egenverdien). Svaret blir funnet ved å løse den karakteristiske ligningen til matrisen:
det (EN – λJeg) = 0
Hvor Jeg er identitetsmatrisen, som er tom bortsett fra en serie med 1s som kjører diagonalt nedover matrisen. “Det” refererer til determinanten til matrisen, som for en generell matrise:
(a b)
EN = (c d)
Er gitt av
Det EN = annonse –bc
Så den karakteristiske ligningen betyr:
(a - λ b)
det (EN – λJeg) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
La oss definere som et eksempel på matrise EN som:
( 0 1 )
EN = (−2 −3 )
Så det betyr:
det (EN – λJeg) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Løsningene for λ er egenverdiene, og du løser dette som en hvilken som helst kvadratisk ligning. Løsningene er λ = - 1 og λ = - 2.
Tips
Finne Eigenvectors
Å finne egenvektorene er en lignende prosess. Bruke ligningen:
(EN – λ) ∙ v = 0
med hver av egenverdiene du har funnet igjen. Dette betyr:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(EN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Du kan løse dette ved å vurdere hver rad etter tur. Du trenger bare forholdet på v1 til v2, fordi det vil være uendelig mange potensielle løsninger for v1 og v2.