Innhold
Prosjektil bevegelse refererer til bevegelsen til en partikkel som er gitt med en begynnende hastighet, men som deretter blir utsatt for ingen krefter utenom tyngdekraften.
Dette inkluderer problemer der en partikkel blir kastet i en vinkel mellom 0 og 90 grader mot horisontalen, mens horisontalen vanligvis er bakken. For enkelhets skyld antas disse prosjektilene å reise i (x, y) fly, med x som representerer horisontal forskyvning og y vertikal forskyvning.
Stien tatt av et prosjektil blir referert til som dens bane. (Legg merke til at den vanlige koblingen i "prosjektil" og "bane" er stavelsen "-jekt", det latinske ordet for "kast." Å kaste ut noen er bokstavelig talt å kaste ham ut.) Prosjektilets opprinnelsessted i problemer der du trenger å beregne bane antas vanligvis å være (0, 0) for enkelhets skyld med mindre annet er angitt.
Banen til et prosjektil er en parabola (eller i det minste sporer en del av en parabola) hvis partikkelen blir lansert på en slik måte at den har en ikke-horisontal bevegelseskomponent, og det er ingen luftmotstand som påvirker partikkelen.
De kinematiske likningene
Variablene av interesse i bevegelsen av en partikkel er dens posisjonskoordinater x og y, dens hastighet v, og dens akselerasjon en, alt i forhold til en gitt tid t siden starten av problemet (når partikkelen lanseres eller slippes). Merk at utelatelse av masse (m) innebærer at tyngdekraften på jorden fungerer uavhengig av denne mengden.
Legg også merke til at disse ligningene ignorerer rollen som luftmotstand, som skaper en dragkraft som motsetter seg bevegelse i jordens virkelige situasjoner. Denne faktoren introduseres i mekanikerkurs på høyere nivå.
Variabler som får et abonnement "0" refererer til verdien av den mengden på et tidspunkt t = 0 og er konstanter; ofte er denne verdien 0 takket være det valgte koordinatsystemet, og ligningen blir så mye enklere. Akselerasjon blir behandlet som konstant i disse problemene (og er i y-retningen og lik -g; eller –9,8 m / s2, akselerasjonen på grunn av tyngdekraften nær jordas overflate).
Horisontal bevegelse:
x = x0 + vx t
Vertikal bevegelse:
Eksempler på prosjektilbevegelse
Nøkkelen til å kunne løse problemer som inkluderer beregninger av banen er å vite at de horisontale (x) og vertikale (y) bevegelseskomponentene kan analyseres separat, som vist ovenfor, og deres respektive bidrag til den totale bevegelsen pent summert på slutten av problemet.
Problemer med bevegelse av prosjektiler teller som problemer med fritt fall fordi uansett hvordan ting ser ut etter tid t = 0, den eneste kraften som virker på det bevegelige objektet er tyngdekraften.
Beregning av bane
1. De raskeste pitchers i baseball kan kaste en ball på litt over 100 miles i timen, eller 45 m / s. Hvis en ball blir kastet vertikalt oppover med denne hastigheten, hvor høy vil den da komme og hvor lang tid tar det å komme tilbake til punktet der den ble sluppet?
Her vy0 = 45 m / s, -g = –9,8 m / s, og mengden av interesse er den ultimate høyden, eller y, og den totale tiden tilbake til Jorden. Total tid er en to-delt beregning: tid opp til y, og tid ned til y0 = 0. For den første delen av problemet, vy, når ballen når sin topphøyde, er 0.
Begynn med å bruke ligningen vy2 = v0y2 - 2g (åååå0) og koble til verdiene du har:
0 = (45)2 - (2) (9,8) (y - 0) = 2,025 - 19,6y
y = 103,3 moh
Ligningen vy = v0y - gt viser at tiden t dette tar er (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. For å få total tid, legg til denne verdien til tiden det tar for ballen å falle fritt til sitt utgangspunkt. Dette er gitt av y = y0 + v0yt - (1/2) gt2 , hvor nå, fordi ballen fremdeles er i øyeblikket før den begynner å stupe, v0y = 0.
Løsning (103,3) = (1/2) gt2 for t gir t = 4,59 sekunder.
Dermed er den totale tiden 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det kanskje overraskende resultatet at hvert "ben" på turen, opp og ned, tok samme tid, understreker at tyngdekraften er den eneste kraften i spillet her.
2. Område ligningen: Når et prosjektil lanseres med en hastighet v0 og en vinkel θ fra den horisontale, den har innledende horisontale og vertikale hastighetskomponenter v0x = v0(cos θ) og v0y = v0(synd θ).
Fordi vy = v0y - gt, og vy = 0 når prosjektilet når sin maksimale høyde, gis tiden til maksimal høyde med t = v0y/ G. På grunn av symmetri vil det ta tid å gå tilbake til bakken (eller y = y0) er ganske enkelt 2t = 2v0y/g.
Til slutt å kombinere disse med forholdet x = v0xt, er den horisontale avstanden som er gitt gitt en startvinkel θ
R (rekkevidde) = 2 (v02synd θ ⋅ cos θ / g) = v02(Sin2θ) / g
(Det siste trinnet kommer fra den trigonometriske identiteten 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Siden sin2θ er på sin maksimale verdi på 1 når θ = 45 grader, maksimerer bruk av denne vinkelen den horisontale avstanden for en gitt hastighet ved
R = v02/ G.