Hvordan beregne vinkelhastigheten

Innhold

• Grunnleggende om bevegelse
• Angular Velocity Equation
• Rotasjonsbevegelseslikninger
• Beslektede mengder og uttrykk
• Vinkelhastighet vs. lineær hastighet

I hverdagsdiskurs blir ofte "hastighet" og "hastighet" brukt om hverandre. I fysikk har imidlertid disse begrepene spesifikke og distinkte betydninger. "Speed" er hastigheten på en forskyvning av et objekt i verdensrommet, og det gis bare av et tall med spesifikke enheter (ofte i meter per sekund eller miles per time). Hastighet er derimot en hastighet koblet til en retning. Hastighet kalles da en skalær mengde, mens hastighet er en vektormengde.

Når en bil glir langs en motorvei eller en baseball suser gjennom luften, måles hastigheten til disse gjenstandene med referanse til bakken, mens hastigheten inneholder mer informasjon. For eksempel, hvis du er i en bil som kjører 70 miles per time på Interstate 95 på østkysten av USA, er det også nyttig å vite om den drar nordøstover mot Boston eller sørover mot Florida. Med baseball kan det være lurt å vite om y-koordinaten forandrer seg raskere enn x-koordinaten (en flyball) eller om det motsatte er sant (en linjedrift). Men hva med spinningen på dekkene eller rotasjonen (rotasjonen) av baseball når bilen og ballen beveger seg mot deres endelige destinasjon? For denne typen spørsmål tilbyr fysikk konseptet med vinkelhastighet.

Grunnleggende om bevegelse

Ting beveger seg gjennom tredimensjonalt fysisk rom på to hovedmåter: oversettelse og rotasjon. Oversettelse er forskyvningen av hele objektet fra ett sted til et annet, som en bil som kjører fra New York City til Los Angeles. Rotasjon er derimot den sykliske bevegelsen til et objekt rundt et fast punkt. Mange gjenstander, for eksempel baseball i eksemplet ovenfor, viser begge typer bevegelse på samme tid; mens en fluekule beveget seg gjennom luften fra hjemmeplaten mot utmarkens gjerde, snurrer den også med en gitt hastighet rundt sitt eget senter.

Å beskrive disse to typer bevegelser blir behandlet som separate fysiske problemer; det vil si at når du beregner avstanden ballen løper gjennom luften basert på ting som den opprinnelige utskytningsvinkelen og hastigheten den forlater flaggermusen, kan du ignorere rotasjonen, og når du beregner rotasjonen kan du behandle den som å sitte i en sted for nåværende formål.

Angular Velocity Equation

For det første, når du snakker om "kantete" noe, det være seg hastighet eller annen fysisk mengde, må du gjenkjenne at fordi du har å gjøre med vinkler, snakker du om å reise i sirkler eller deler derav. Du kan huske fra geometri eller trigonometri at omkretsen av en sirkel er dens diameter ganger konstanten pi, eller πd. (Verdien av pi er omtrent 3.14159.) Dette kommer ofte til uttrykk i form av sirkelenes radius r, som er halvparten av diameteren, noe som gjør omkretsen 2πr.

I tillegg har du sannsynligvis lært et sted underveis at en sirkel består av 360 grader (360 °). Hvis du beveger deg en avstand S langs en sirkel, er vinkelfortrengningen θ lik S / r. Én full revolusjon gir da 2πr / r, som bare etterlater 2π. Det betyr vinkler mindre enn at 360 ° kan uttrykkes i form av pi, eller med andre ord, som radianer.

Når du tar alle disse informasjonsdelene sammen, kan du uttrykke vinkler eller deler av en sirkel i andre enheter enn grader:

360 ° = (2π) radianer, eller

1 radian = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Mens lineær hastighet er uttrykt i lengde per tidsenhet, måles vinkelhastigheten i radianer per tidsenhet, vanligvis per sekund.

Hvis du vet at en partikkel beveger seg i en sirkulær bane med en hastighet v på avstand r fra sentrum av sirkelen, med retning av v alltid vinkelrett på radius av sirkelen, så kan vinkelhastigheten skrives

ω = v / r,

hvor ω er det greske bokstavet omega. Vinkelhastighetsenheter er radianer per sekund; du kan også behandle denne enheten som "gjensidige sekunder" fordi v / r gir m / s delt på m, eller s^-1, noe som betyr at radianer er teknisk en mengde uten enhet.

Rotasjonsbevegelseslikninger

Vinkelakselerasjonsformelen er avledet på samme essensielle måte som vinkelhastighetsformelen: Det er bare den lineære akselerasjonen i en retning vinkelrett på en radius av sirkelen (tilsvarende, dens akselerasjon langs en tangens til den sirkulære banen på et hvilket som helst punkt) delt ved radius av sirkelen eller delen av en sirkel, som er:

α = a_t/ r

Dette er også gitt av:

α = ω / t

fordi for sirkulær bevegelse, a_t = ωr / t = v / t.

α, som du sikkert vet, er den greske bokstaven "alfa". Abonnementet "t" her betegner "tangens."

Merkelig nok kan rotasjonsbevegelse imidlertid skilte med en annen type akselerasjon, kalt centripetal ("sentrumssøkende") akselerasjon. Dette er gitt av uttrykket:

en_c = v²/ r

Denne akselerasjonen er rettet mot det punktet det aktuelle objektet roterer rundt. Dette kan virke rart, siden objektet ikke kommer nærmere dette sentrale punktet siden radius r er fikset. Tenk på centripetal akselerasjon som et fritt fall der det ikke er fare for at gjenstanden treffer bakken, fordi kraften som trekker objektet mot den (vanligvis tyngdekraften) nøyaktig blir oppveid av tangentiell (lineær) akselerasjon beskrevet av den første ligningen i denne seksjonen. Hvis en_c var ikke lik en_t, ville objektet enten flydd ut i verdensrommet eller snart krasjet inn i midten av sirkelen.

Beslektede mengder og uttrykk

Selv om vinkelhastighet vanligvis uttrykkes, som nevnt, i radianer per sekund, kan det være tilfeller der det er foretrukket eller nødvendig å bruke grader per sekund i stedet, eller omvendt, for å konvertere fra grader til radianer før du løser et problem.

Si at du ble fortalt at en lyskilde roterer 90 ° hvert sekund med konstant hastighet. Hva er dens vinkelhastighet i radianer?

Husk først at 2π radianer = 360 °, og sett opp en andel:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Svaret er halvparten pi radianer per sekund.

Hvis du videre ble fortalt at lysstrålen har en rekkevidde på 10 meter, hva ville være toppen av bjelkene lineær hastighet v, dens vinkelakselerasjon α og dens centripetale akselerasjon en_c?

Å løse for v, ovenfra, v = ωr, hvor ω = π / 2 og r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

Å løse for α, bare legg til en annen tidsenhet til nevneren:

α = 5π rad / s²

(Vær oppmerksom på at dette bare fungerer for problemer der vinkelhastigheten er konstant.)

Til slutt, også ovenfra, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Vinkelhastighet vs. lineær hastighet

Ta utgangspunkt i det forrige problemet, forestill deg deg selv på en veldig stor lystegang, en med en usannsynlig radius på 10 kilometer (10.000 meter). Denne glede-runden gjør en komplett revolusjon hvert 1. minutt og 40. sekund, eller hvert 100. sekund.

En konsekvens av forskjellen mellom vinkelhastighet, som er uavhengig av avstanden fra rotasjonsaksen, og lineær sirkulær hastighet, som ikke er det, er at to personer opplever det samme ω kan gjennomgå en enorm fysisk opplevelse. Hvis du tilfeldigvis befinner deg 1 meter fra sentrum hvis denne formodede, massive glede-runden, er din lineære (tangensielle) hastighet:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s, eller 6,29 cm (mindre enn 3 inches) per sekund.

Men hvis du er på kanten av dette monsteret, er din lineære hastighet:

ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. Det er omtrent 1 406 mil i timen, raskere enn en kule. Vent litt!