Hvis du skulle ta en firkant og tegne to diagonallinjer, ville de krysse i sentrum og danne fire høyre trekanter. De to diagonalene krysser 90 grader. Du kan kanskje gjette intuitivt at to diagonaler av en kube, som hver løper fra det ene hjørnet av kuben til det motsatte hjørnet og krysser i sentrum, også vil krysse i rette vinkler. Du vil ta feil. Å bestemme vinkelen der to diagonaler i en kube krysser hverandre er litt mer komplisert enn det kan vises ved første øyekast, men det gjør god praksis for å forstå prinsippene for geometri og trigonometri.
Definer lengden på en kant som en enhet. Per definisjon har hver kant på kuben en identisk lengde på en enhet.
Bruk Pythagorean teorem for å bestemme lengden på en diagonal som løper fra det ene hjørnet, til det motsatte hjørnet på samme ansikt. Kall dette for en "kort diagonal" for klarhetens skyld. Hver side av den høyre trekanten som er dannet er en enhet, så diagonalen må være lik √2.
Bruk Pythagorean teorem for å bestemme lengden på en diagonal som løper fra det ene hjørnet til det motsatte hjørnet av det motsatte ansiktet. Kall dette en "lang diagonal." Du har en rett trekant med en side lik 1 enhet og en side lik en "kort diagonal," √2 enheter. Kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på sidene, så hypotenusen må være √3. Hver diagonal som løper fra det ene hjørnet av kuben til det motsatte hjørnet er √3 enheter.
Tegn et rektangel for å representere to lange diagonaler som krysser i midten av kuben. Du vil finne vinkelen på krysset deres. Dette rektanglet vil være 1 høy og en enhet bredt. De lange diagonalene halverer hverandre i midten av dette rektangelet og danner to forskjellige typer trekant. En av disse trekantene har en side lik en enhet og de andre to sidene lik √3 / 2 (halvparten av lengden på en lang diagonal). Den andre har også to sider som er √3 / 2, men den andre siden er lik √2. Du trenger bare å analysere en av trekantene, så ta den første og løse for den ukjente vinkelen.
Bruk den trigonometriske formelen c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C for å løse for den ukjente vinkelen til denne trekanten. C = 1, og både a og b er lik √3 / 2. Når du kobler disse verdiene til ligningen, vil du bestemme at kosinus for den ukjente vinkelen er 1/3. Å ta den inverse kosinus på 1/3 gir en vinkel på 70,5 grader.